La figura muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo \(\theta=30.0^{\circ} \mathrm{y}\) una distancia \(d=2.00 \mathrm{~cm}\). La partícula 2 tiene una carga \(q_{2}=8.00 \times 10^{-19} \mathrm{C}\); las partículas 3 y 4 tienen cargas \(q_{3}=q_{4}=-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\). (a) ¿Cuál es la distancia \(D\) entre el origen y la partícula 2 si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 debida a las otras partículas es cero? (b) Si las partículas 3 y 4 se acercaran al eje \(x\) pero mantuvieran su simetría con respecto a ese eje, ¿el valor requerido de \(D\) sería mayor, menor o igual que en el inciso (a)?

Pregunta:
La figura 4 muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo \(\theta=30.0^{\circ} \mathrm{y}\) una distancia \(d=2.00 \mathrm{~cm}\). La partícula 2 tiene una carga \(q_{2}=8.00 \times 10^{-19} \mathrm{C}\); las partículas 3 y 4 tienen cargas \(q_{3}=q_{4}=-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\). (a) ¿Cuál es la distancia \(D\) entre el origen y la partícula 2 si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 debida a las otras partículas es cero? (b) Si las partículas 3 y 4 se acercaran al eje \(x\) pero mantuvieran su simetría con respecto a ese eje, ¿el valor requerido de \(D\) sería mayor, menor o igual que en el inciso (a)? alt text

Datos:

Resolucion: alt text Se asume \(q_{1}>0\) \begin{equation*} \begin{aligned} \sum F_{x}=0:-F_{12}+F_{13} \cos (\theta)+F_{14} \cos (\theta)=0 \label{ldccejer003eq01} \end{aligned} \end{equation*} Pero: \(F_{12}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{1} q_{2}}{\left(r_{12}\right)^{2}}, \quad F_{13}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{1} q_{3}}{\left(r_{13}\right)^{2}}, \quad F_{14}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{1} q_{4}}{\left(r_{14}\right)^{2}}\)
Reemplazando y factorizando en la anterior: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} q_{1}\left(-\frac{q_{2}}{\left(r_{12}\right)^{2}}+\frac{q_{3} \cos (\theta)}{\left(r_{13}\right)^{2}}+\frac{q_{4} \cos (\theta)}{\left(r_{14}\right)^{2}}\right) &=0 \\ r_{12}=d+D, \quad \cos (\theta)=\frac{d}{r_{13}} \Longrightarrow r_{13}=\frac{d}{\cos (\theta)}=r_{14}, \quad q_{3} &=q_{4} \\ -\frac{q_{2}}{(d+D)^{2}}+\frac{q_{3} \cos (\theta)}{\left(\frac{d}{\cos (\theta)}\right)^{2}}+\frac{q_{4} \cos (\theta)}{\left(\frac{d}{\cos (\theta)}\right)^{2}} &=0 \\ -\frac{q_{2}}{(d+D)^{2}}+2 \frac{q_{3} \cos ^{3}(\theta)}{d^{2}} &=0 \\ (d+D)^{2} &=\frac{d^{2} q_{2}}{2 q_{3} \cos ^{3}(\theta)} \\ D &=\sqrt{\frac{d^{2} q_{2}}{2 q_{3} \cos ^{3}(\theta)}}-d \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{gathered} \theta=30.0^{\circ}, d=2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}, q_{2}=8 \times 10^{-19} \mathrm{C}, q_{3}=q_{4}=-1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\ D=\sqrt{\frac{\left(2 \times 10^{-2}\right)^{2} 8 \times 10^{-19}}{2\left(1.6 \times 10^{-19}\right) \cos ^{3}(30)}} -2 \times 10^{-2}\\ \\ D=1.92 \times 10^{-2} \mathrm{~m} \Longrightarrow D=1.92 \mathrm{~cm} \quad \text{(a)} \\ \end{gathered} \end{aligned} \end{equation*} (b) La distancia \( D \) disminuirá a medida que las cargas \( q_3 \) y \( q_4 \) se acerquen más al eje \( x \)

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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