Obtenga la fuerza que actúa sobre una carga puntual positiva \(q\) situada a una distancia \(x\) del extremo de una varilla de longitud \(L\), con una carga positiva \(Q\) distribuida uniformemente (ver figura )

Pregunta:
Obtenga la fuerza que actúa sobre una carga puntual positiva \(q\) situada a una distancia \(x\) del extremo de una varilla de longitud \(L\), con una carga positiva \(Q\) distribuida uniformemente (ver figura) alt text

Datos:

Resolucion: alt text \begin{equation*} \begin{aligned} d F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q d Q}{r^{2}}\\ &\lambda=\frac{d Q}{d x_{2}} \Rightarrow d Q=\lambda d x_{2}\\ d F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q \lambda d x_{2}}{\left(L+x-x_{2}\right)^{2}}\\ F&=\int_{0}^{1} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q \lambda d x_{2}}{\left(L+x-x_{2}\right)^{2}}\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \lambda \int_{0}^{L} \frac{1}{\left(L+x-x_{2}\right)^{2}} d x_{2}\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \lambda\left[-\frac{1}{-L-x+x_{2}}\right]_{0}^{L}\\ F&=\frac{1}{4 \pi E_{0}} q \lambda\left[-\frac{1}{-L-x+L}+\left(\frac{1}{-L-x+0}\right)\right]\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \lambda\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}\right]\\ &\lambda=\frac{Q}{L}\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \frac{Q}{L}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{L+x}\right) \end{aligned} \end{equation*}

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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