Dos cargas eléctricas iguales, a 20 cm de distancia entre sí, en el vacío, se repelen con 100 dyn de fuerza. ¿Cuánto valen las cargas?

Dos cargas eléctricas iguales, a 20 cm de distancia entre sí, en el vacío, se repelen con 100 dyn de fuerza. ¿Cuánto valen las cargas?

Solución:

DATOS: \(\quad q_1=q_2=q\), \(\quad r=20\,\text{cm}\), \(\quad F=100\,\text{dyn}\), \(\quad q=?\)

\[ \begin{aligned} F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_o} \frac{q^{2}}{r^{2}} \quad \Longrightarrow\quad  q &= \pm\sqrt{F\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\right)^{-1}r^{2}}=\pm\, r \,\sqrt{F\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\right)^{-1}}\\ q &= \pm 20\times 10^{-2}\,\text{m}\;\sqrt{100\times 10^{-5}\text{N}(9\times 10^{9})^{-1}\frac{\text{C}^2}{\text{N}\,\text{m}^2}}\\ q &= \pm 66.67\times10^{-9}\text{C}\\ q &= \boxed{\pm 66.67\,\text{nC}} \end{aligned} \]

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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