Ejercicio Resuelto 002 (Capacitancia y Dieléctricos)

 En muchos teclados de computadora los conmutadores bajo las teclas consisten en pequeños condensadores de placas paralelas (ver Figura). La tecla está unida a la placa superior, que es móvil. Cuando se presiona la tecla, se presiona la placa superior hacia la placa inferior, y se altera la separación de las placas \(d\) y la capacitancia. El capacitor está conectado a un circuito externo que mantiene una diferencia de potencial constante \(\Delta V\) a través de las placas. El cambio de capacitancia por lo tanto envía un pulso de carga del capacitor al circuito del ordenador. Supongamos que la separación inicial de las placas es de \(5.0 \mathrm{~mm} \)  y la capacitancia inicial es \(6.0 \times 10^{-13} \mathrm{~F}\). La separación de las placas final (con la tecla completamente oprimida) es \(0.20 \mathrm{~mm}\). La diferencia de potencial constante es \(8.0 \mathrm{~V}\). ¿Cuál es el cambio en la capacitancia cuando se oprime la tecla? ¿Cuál es la cantidad de carga eléctrica que sale del condensador al circuito de la computadora?

Solución:

Datos: \( d_{i} = 5.0\mathrm{~mm} \), \( C_{i} = 6.0\times10^{-13}\mathrm{~F} \), \( d_{f} = 0.20\mathrm{~mm} \), \( V = 8.0\mathrm{~V} \), \( \color{red}{\Delta C = ?} \), \( \color{red}{Q = ?} \)

\[ \begin{align*}C_{i} &= \epsilon_{0} \frac{A}{\partial_{i}} & C_{f}& = \epsilon_{0} \frac{A}{\partial_{f}} & \Delta C&=C_{f}-C_{i} \\A &= \frac{C_{i} d_{i}}{\epsilon_{0}} & C_{f} &= \frac{8.85 \times 10^{-12} 3.3898 \times 10^{-4}}{0.20 \times 10^{-3}} & \Delta C &= 1.50 \times 10^{-11}-6 \times 10^{-13} \\A &= \frac{6 \times 10^{-13} 5 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}} &  \color{blue}{C_{f}} &= \color{blue}{1.50 \times 10^{-11} \mathrm{~F}} & \color{green}{\Delta} C &= \color{green}{1.44 \times 10^{-11} F }\\\color{blue}{A} &= \color{blue}{3.3898 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}}& &\end{align*}\]

Ya encontrado el cambio de la capacitancia, podemos hallar la cantidad de carga.

\[ \begin{align*} Q &= C\,V & Q &= 1.44\times10^{-11}\,(8) &\Rightarrow  \color{green}{Q} &= \color{green}{1.152\times10^{-10}\mathrm{~C}} \end{align*} \]










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Pregunta: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x
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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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