Ejercicio Resuelto 002 (Capacitancia y Dieléctricos)

 En muchos teclados de computadora los conmutadores bajo las teclas consisten en pequeños condensadores de placas paralelas (ver Figura). La tecla está unida a la placa superior, que es móvil. Cuando se presiona la tecla, se presiona la placa superior hacia la placa inferior, y se altera la separación de las placas \(d\) y la capacitancia. El capacitor está conectado a un circuito externo que mantiene una diferencia de potencial constante \(\Delta V\) a través de las placas. El cambio de capacitancia por lo tanto envía un pulso de carga del capacitor al circuito del ordenador. Supongamos que la separación inicial de las placas es de \(5.0 \mathrm{~mm} \)  y la capacitancia inicial es \(6.0 \times 10^{-13} \mathrm{~F}\). La separación de las placas final (con la tecla completamente oprimida) es \(0.20 \mathrm{~mm}\). La diferencia de potencial constante es \(8.0 \mathrm{~V}\). ¿Cuál es el cambio en la capacitancia cuando se oprime la tecla? ¿Cuál es la cantidad de carga eléctrica que sale del condensador al circuito de la computadora?

Solución:

Datos: \( d_{i} = 5.0\mathrm{~mm} \), \( C_{i} = 6.0\times10^{-13}\mathrm{~F} \), \( d_{f} = 0.20\mathrm{~mm} \), \( V = 8.0\mathrm{~V} \), \( \color{red}{\Delta C = ?} \), \( \color{red}{Q = ?} \)

\[ \begin{align*}C_{i} &= \epsilon_{0} \frac{A}{\partial_{i}} & C_{f}& = \epsilon_{0} \frac{A}{\partial_{f}} & \Delta C&=C_{f}-C_{i} \\A &= \frac{C_{i} d_{i}}{\epsilon_{0}} & C_{f} &= \frac{8.85 \times 10^{-12} 3.3898 \times 10^{-4}}{0.20 \times 10^{-3}} & \Delta C &= 1.50 \times 10^{-11}-6 \times 10^{-13} \\A &= \frac{6 \times 10^{-13} 5 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}} &  \color{blue}{C_{f}} &= \color{blue}{1.50 \times 10^{-11} \mathrm{~F}} & \color{green}{\Delta} C &= \color{green}{1.44 \times 10^{-11} F }\\\color{blue}{A} &= \color{blue}{3.3898 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}}& &\end{align*}\]

Ya encontrado el cambio de la capacitancia, podemos hallar la cantidad de carga.

\[ \begin{align*} Q &= C\,V & Q &= 1.44\times10^{-11}\,(8) &\Rightarrow  \color{green}{Q} &= \color{green}{1.152\times10^{-10}\mathrm{~C}} \end{align*} \]










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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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