Ejercicio Resuelto 003 (Capacitancia y Dieléctricos)

 Un capacitor de placas paralelas de \(10.0 \mu \mathrm{F}\) con placas circulares está conectado a una batería de \(12.0 \mathrm{~V}\). (a) ¿Cuál es la carga en cada placa? (b) ¿Cuánta carga habría en las placas si se duplicara la separación y el capacitor permaneciera conectado a la batería? (c) ¿Cuánta carga habría en las placas si el capacitor se conectara a la batería de \(12.0 \mathrm{~V}\) después de duplicar el radio de cada placa sin modificar su separación?

Solución:

Datos: \( C = 10\,\mu\mathrm{F} \), \( V = 12\,\mathrm{V} \), \( \color{red}{ (a)\,Q = ?,\,d,\,V } \), \( \color{red}{ (b)\;Q = ?,\,2d,\,V } \), \( \color{red}{ (c)\,Q = ?,\,2r,\,d\,V } \)

(a) 

\[ \begin{align*}C &=\frac{Q}{V} \\Q &=C V \\Q &=10 \times 10^{-6}(12) \\Q &=1.2 \times 10^{-4} \mathrm{C}\end{align*} \]

(b)

\[ \begin{align*}C &=\frac{Q}{V} \\C_{b} &=\epsilon_{0} \frac{A}{2 d} \\C_{b} &=\frac{1}{2} \epsilon_{0} \frac{A}{\partial} \\C_{b} &=\frac{C}{2} \\Q &=\frac{10 \times 10^{-6}}{2}(12) \\Q &=6 \times 10^{-5} \mathrm{C}\end{align*} \]

(c)

\[ \begin{align*}C &=\frac{Q}{V}=\epsilon_{0} \frac{A}{d}=\epsilon_{0} \frac{\pi r^{2}}{d} \\C_{c} &=\epsilon_{0} \frac{\pi(2 r)^{2}}{d} \\C_{c} &=4 \epsilon_{0} \frac{\pi r^{2}}{d} \\C_{c} &=4\,C \\Q &=4\left(10 \times 10^{-6}\right) 12 \\Q &=\boxed{4.8 \times 10^{-4} \mathrm{C}}\end{align*} \]










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Pregunta: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x
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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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