Ejercicio Resuelto 004 (Capacitancia y Dieléctricos)

 La figura muestra dos capacitores en serie, siendo la sección rígida central de longitud \(b\) móvil verticalmente. Demuestre que la capacitancia equivalente de la combinación en serie es independiente de la posición de la sección central.

Solución:

Datos: \( b, a \)


\[ \begin{align*}\frac{1}{C_{eq}}  &= \frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}\\ C_{1} &= \epsilon_{o}\,\frac{A}{x} \;,\qquad C_{2} = \epsilon_{o}\,\frac{A}{a-b-x}\\ \frac{1}{C_{1}} &+ \frac{1}{C_{2}} = \frac{1}{\epsilon_{o}\,\frac{A}{x}} + \frac{1}{\epsilon_{o}\,\frac{A}{a-b-x}} = \frac{x}{\epsilon_{o}\,A} + \frac{a-b-x}{\epsilon_{o}\,A}\\ \frac{1}{C_{1}} &+ \frac{1}{C_{2}} = \frac{x+a-b-x}{\epsilon_{o}\,A}\\ \frac{1}{C_{1}} &+ \frac{1}{C_{2}} = \frac{a-b}{\epsilon_{o}\,A}\end{align*} \]

Reemplazando en la primera ecuación.

\[ \begin{align*} C_{eq} &= \left( \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} \right)^{-1}\\ C_{eq} &= \left( \frac{a-b}{\epsilon_{o}\,A} \right)^{-1} \Longrightarrow C_{eq}=\frac{\epsilon_{o}\,A}{a-b} \end{align*} \]











Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Ejercicio Resuelto 005 (Capacitancia y Dieléctricos)

Imagen
 Un capacitor tiene placas cuadradas, cada una de lado \(a\), y formando un ángulo \(\theta\) entre sí, como se ve en la figura. Demuestre que para pequeños valores de \(\theta\) la capacitancia está dada por la fórmula \(C=\frac{\varepsilon_{0} a^{2}}{d}\left(1-\frac{a \theta}{2 d}\right) .\) (Sugerencia: El condensador se puede dividir en tiras diferenciales que se encuentren en paralelo.) Solución: Datos: \( a,\; \theta \) \[ \begin{align*}dC &= \epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{y}\\\frac{y-d}{x} &= \frac{h}{a} \quad\Longrightarrow\quad y-d=\frac{h}{a}\,x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{h}{a}\,x + d\\\tan\theta &= \frac{h}{a} \quad\Longrightarrow\quad y = \tan\theta\,x+d\end{align*} \] Para ángulos pequeños: \( \tan\theta \simeq \theta \) \[ \begin{align*}dC &= \epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{\theta\,x + d}\\C &= \int_{0}^{a}\epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{\theta\,x+d}\\C &= \epsilon_{o}\,a\int_{0}^{a}\frac{1}{d\left( \frac{\theta\,x}{d}+1 \right)}\,dx\\C &= \epsilon_
Read more »

Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*}

Imagen
Pregunta: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x
Read more »

(a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ?

Imagen
Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
Read more »