Ejercicio Resuelto 004 (Capacitancia y Dieléctricos)

 La figura muestra dos capacitores en serie, siendo la sección rígida central de longitud \(b\) móvil verticalmente. Demuestre que la capacitancia equivalente de la combinación en serie es independiente de la posición de la sección central.

Solución:

Datos: \( b, a \)


\[ \begin{align*}\frac{1}{C_{eq}}  &= \frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}\\ C_{1} &= \epsilon_{o}\,\frac{A}{x} \;,\qquad C_{2} = \epsilon_{o}\,\frac{A}{a-b-x}\\ \frac{1}{C_{1}} &+ \frac{1}{C_{2}} = \frac{1}{\epsilon_{o}\,\frac{A}{x}} + \frac{1}{\epsilon_{o}\,\frac{A}{a-b-x}} = \frac{x}{\epsilon_{o}\,A} + \frac{a-b-x}{\epsilon_{o}\,A}\\ \frac{1}{C_{1}} &+ \frac{1}{C_{2}} = \frac{x+a-b-x}{\epsilon_{o}\,A}\\ \frac{1}{C_{1}} &+ \frac{1}{C_{2}} = \frac{a-b}{\epsilon_{o}\,A}\end{align*} \]

Reemplazando en la primera ecuación.

\[ \begin{align*} C_{eq} &= \left( \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} \right)^{-1}\\ C_{eq} &= \left( \frac{a-b}{\epsilon_{o}\,A} \right)^{-1} \Longrightarrow C_{eq}=\frac{\epsilon_{o}\,A}{a-b} \end{align*} \]











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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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