Ejercicio Resuelto 005 (Capacitancia y Dieléctricos)

 Un capacitor tiene placas cuadradas, cada una de lado \(a\), y formando un ángulo \(\theta\) entre sí, como se ve en la figura. Demuestre que para pequeños valores de \(\theta\) la capacitancia está dada por la fórmula \(C=\frac{\varepsilon_{0} a^{2}}{d}\left(1-\frac{a \theta}{2 d}\right) .\) (Sugerencia: El condensador se puede dividir en tiras diferenciales que se encuentren en paralelo.)

Solución:

Datos: \( a,\; \theta \)

\[ \begin{align*}dC &= \epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{y}\\\frac{y-d}{x} &= \frac{h}{a} \quad\Longrightarrow\quad y-d=\frac{h}{a}\,x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{h}{a}\,x + d\\\tan\theta &= \frac{h}{a} \quad\Longrightarrow\quad y = \tan\theta\,x+d\end{align*} \]

Para ángulos pequeños: \( \tan\theta \simeq \theta \)

\[ \begin{align*}dC &= \epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{\theta\,x + d}\\C &= \int_{0}^{a}\epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{\theta\,x+d}\\C &= \epsilon_{o}\,a\int_{0}^{a}\frac{1}{d\left( \frac{\theta\,x}{d}+1 \right)}\,dx\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a}{d}\int_{0}^{a}\left(1+\frac{\theta\,x}{d}\right)^{-1}\,dx \quad\Longrightarrow \left( 1+\frac{\theta\,x}{d} \right)^{-1} \simeq 1-\frac{\theta\,x}{d}\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a}{d}\int_{0}^{a}\left( 1-\frac{\theta\,x}{d} \right)\,dx\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a}{d}\left[ x-\frac{1}{2}\,\frac{\theta\,x^2}{d} \right]_{0}^{a}\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a}{d}\left[ a-\frac{1}{2}\,\frac{\theta\,a^2}{d} \right]_{0}^{a}\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a^2}{d}\left( 1-\frac{a\,\theta}{2\,d} \right)\end{align*} \]