Ejercicio Resuelto 005 (Capacitancia y Dieléctricos)

 Un capacitor tiene placas cuadradas, cada una de lado \(a\), y formando un ángulo \(\theta\) entre sí, como se ve en la figura. Demuestre que para pequeños valores de \(\theta\) la capacitancia está dada por la fórmula \(C=\frac{\varepsilon_{0} a^{2}}{d}\left(1-\frac{a \theta}{2 d}\right) .\) (Sugerencia: El condensador se puede dividir en tiras diferenciales que se encuentren en paralelo.)


Solución:

Datos: \( a,\; \theta \)


\[ \begin{align*}dC &= \epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{y}\\\frac{y-d}{x} &= \frac{h}{a} \quad\Longrightarrow\quad y-d=\frac{h}{a}\,x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{h}{a}\,x + d\\\tan\theta &= \frac{h}{a} \quad\Longrightarrow\quad y = \tan\theta\,x+d\end{align*} \]

Para ángulos pequeños: \( \tan\theta \simeq \theta \)

\[ \begin{align*}dC &= \epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{\theta\,x + d}\\C &= \int_{0}^{a}\epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{\theta\,x+d}\\C &= \epsilon_{o}\,a\int_{0}^{a}\frac{1}{d\left( \frac{\theta\,x}{d}+1 \right)}\,dx\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a}{d}\int_{0}^{a}\left(1+\frac{\theta\,x}{d}\right)^{-1}\,dx \quad\Longrightarrow \left( 1+\frac{\theta\,x}{d} \right)^{-1} \simeq 1-\frac{\theta\,x}{d}\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a}{d}\int_{0}^{a}\left( 1-\frac{\theta\,x}{d} \right)\,dx\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a}{d}\left[ x-\frac{1}{2}\,\frac{\theta\,x^2}{d} \right]_{0}^{a}\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a}{d}\left[ a-\frac{1}{2}\,\frac{\theta\,a^2}{d} \right]_{0}^{a}\\C &= \epsilon_{o}\,\frac{a^2}{d}\left( 1-\frac{a\,\theta}{2\,d} \right)\end{align*} \]








Comentarios

  1. Dani18 de marzo de 2022 a las 7:57

    Puedes subir más ejercicios sobre el campo eléctrico y la ley de Gauss

    ResponderEliminar

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Ley de Coulomb (Ejercicio Resuelto 007)

Imagen
 Dos esferas idénticas de corcho de masa \(m\) y carga \(q\), están suspendidas del mismo punto de dos cuerdas de longitud \(L\). Hallar el ángulo \(\theta\) que las cuerdas forman con la vertical una vez logrado el equilibrio. SOLUCIÓN. Datos: \(\qquad m\), \(\qquad q\), \(\qquad L\), \(\qquad \theta=\,?\) \[ \begin{aligned} &\sum F_H=0:\qquad T\,\sin\theta=F_R\qquad\mathrm{(1)}\\ &\sum F_v=0:\qquad T\,\cos\theta=mg\qquad\mathrm{(2)}\\ \end{aligned} \] Dividiendo \(\mathrm(1)\) y \(\mathrm{(2)}\): \[ \begin{aligned} &\frac{T\,\sin\theta}{T\,\cos\theta}=\frac{F_R}{m\,g}\,\,\Longrightarrow\,\,\tan\theta=\frac{F_R}{mg}\qquad\mathrm{(3)}\\ &\sin\theta=\frac{r}{2L}\,\,\Longrightarrow\,\, r=2L\sin\theta\\ &F_R=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{r^{2}} \end{aligned} \] Reemplazando en \(\mathrm{(3)}\): \[ \begin{aligned} &\tan\theta=\frac{1}{mg}\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{4L^{2}\sin^{2}\theta}\\ &\boxed{\tan\theta\,\sin^{2}\theta=\frac{1}...
Read more »

La figura muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo \(\theta=30.0^{\circ} \mathrm{y}\) una distancia \(d=2.00 \mathrm{~cm}\). La partícula 2 tiene una carga \(q_{2}=8.00 \times 10^{-19} \mathrm{C}\); las partículas 3 y 4 tienen cargas \(q_{3}=q_{4}=-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\). (a) ¿Cuál es la distancia \(D\) entre el origen y la partícula 2 si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 debida a las otras partículas es cero? (b) Si las partículas 3 y 4 se acercaran al eje \(x\) pero mantuvieran su simetría con respecto a ese eje, ¿el valor requerido de \(D\) sería mayor, menor o igual que en el inciso (a)?

Imagen
Pregunta: La figura 4 muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo \(\theta=30.0^{\circ} \mathrm{y}\) una distancia \(d=2.00 \mathrm{~cm}\). La partícula 2 tiene una carga \(q_{2}=8.00 \times 10^{-19} \mathrm{C}\); las partículas 3 y 4 tienen cargas \(q_{3}=q_{4}=-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\). (a) ¿Cuál es la distancia \(D\) entre el origen y la partícula 2 si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 debida a las otras partículas es cero? (b) Si las partículas 3 y 4 se acercaran al eje \(x\) pero mantuvieran su simetría con respecto a ese eje, ¿el valor requerido de \(D\) sería mayor, menor o igual que en el inciso (a)? Datos: Resolucion: Se asume \(q_{1}>0\) \begin{equation*} \begin{aligned} \sum F_{x}=0:-F_{12}+F_{13} \cos (\theta)+F_{14} \cos (\theta)=0 \label{ldccejer003eq01} \end{aligned} \end{equation*} Pero: \(F_{12}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{1} q_{2}}{\left(r_{12}\right)^{2}}, \quad F_{13}=\frac{1}{4 ...
Read more »

Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*}

Imagen
Pregunta: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x...
Read more »