(a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ?

Pregunta:
(a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? imagen pregunta

Datos:

Resolucion: imagen respuesta \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\left(r+\frac{l}{2}\right)\right]^2} \\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[r^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2\right]^2} \\ &\quad r \gg l \\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[r^2\left(1-\frac{l^2}{4 r^2}\right)\right]^2} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{r^4(1)} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 l}{r^3} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 Q l}{r^3} \\ &\quad p=Q\,l\\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 p}{r^3} \end{aligned} \]

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