(a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ?

Pregunta:
(a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? imagen pregunta

Datos:

Resolucion: imagen respuesta \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\left(r+\frac{l}{2}\right)\right]^2} \\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[r^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2\right]^2} \\ &\quad r \gg l \\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[r^2\left(1-\frac{l^2}{4 r^2}\right)\right]^2} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{r^4(1)} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 l}{r^3} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 Q l}{r^3} \\ &\quad p=Q\,l\\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 p}{r^3} \end{aligned} \]

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Ejercicio Resuelto 005 (Capacitancia y Dieléctricos)

Imagen
 Un capacitor tiene placas cuadradas, cada una de lado \(a\), y formando un ángulo \(\theta\) entre sí, como se ve en la figura. Demuestre que para pequeños valores de \(\theta\) la capacitancia está dada por la fórmula \(C=\frac{\varepsilon_{0} a^{2}}{d}\left(1-\frac{a \theta}{2 d}\right) .\) (Sugerencia: El condensador se puede dividir en tiras diferenciales que se encuentren en paralelo.) Solución: Datos: \( a,\; \theta \) \[ \begin{align*}dC &= \epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{y}\\\frac{y-d}{x} &= \frac{h}{a} \quad\Longrightarrow\quad y-d=\frac{h}{a}\,x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{h}{a}\,x + d\\\tan\theta &= \frac{h}{a} \quad\Longrightarrow\quad y = \tan\theta\,x+d\end{align*} \] Para ángulos pequeños: \( \tan\theta \simeq \theta \) \[ \begin{align*}dC &= \epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{\theta\,x + d}\\C &= \int_{0}^{a}\epsilon_{o}\,\frac{a\,dx}{\theta\,x+d}\\C &= \epsilon_{o}\,a\int_{0}^{a}\frac{1}{d\left( \frac{\theta\,x}{d}+1 \right)}\,dx\\C &= \epsilon_
Read more »

Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*}

Imagen
Pregunta: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x
Read more »