Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*}

Pregunta:
Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} alt text

Datos:

Resolucion: alt text \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &F=\int_{-a}^{a} \int_{b-a}^{b+a} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} \lambda_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} d x_{1} d x_{2} \\ &F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \lambda_{1} \lambda_{2} \int_{-a}^{a} \int_{b-a}^{b+a} \frac{1}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} d x_{2} d x_{1} \\ &F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \lambda_{1} \lambda_{2} \int_{-a}^{a}\left[\frac{1}{b-a-x_{1}}-\frac{1}{b+a-x_{1}}\right] d x_{1} \\ &F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{2 a}\frac{Q}{2 a}\left[\ln (b)-\ln (b-2 a)+\ln (b)-\ln (b+2 a)\right] \\ &F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\left[\ln \left(\frac{b}{b-2 a}\right)+\ln \left(\frac{b}{b+2 a}\right)\right] \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}} \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \\ &F=\left(\frac{k Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}

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