Ejercicio Resuelto 006 (Capacitancia y dieléctricos)

 En la figura, una batería de \(20.0 \mathrm{~V}\) se conecta a través de los capacitores de capacitancias \(C_{1}=C_{6}=3.00 \mu \mathrm{F}\) y \(C_{3}=C_{5}=2.00 C_{2}=2.00 C_{4}=4.00 \mu \mathrm{F}\). ¿Cuál es (a) la capacitancia equivalente \(C_{e q}\) de los capacitores y (b) la carga almacenada por \(C_{e q}\) ¿Cuáles son (c) \(V_{1}\) y (d) \(q_{1}\) del capacitor 1, (e) \( V_{2} \) y (f) \( q_{2} \) del condensador 2, (g) \( V_{3} \) y (h) \( q_{3} \) del condensador 3?


Solución:

Datos: \( V = 20.0\,\mathrm{V} \), \(\quad C_{1}=C_{6} = 3.00\,\mu\mathrm{~F} \),  \(\quad C_{3}=C_{5} = 2.00\,C_{2}=2.00\,C_{4}=4.00\,\mu\mathrm{~F} \),   \(\quad \mathrm{(a)~}  \color{red}{ C_{eq} = ? } \),  \( \quad \mathrm{(b)~}\color{red}{ Q = ? } \), \(\quad \mathrm{(c)~} \color{red}{ V_{1} = ? } \), \(\quad \mathrm{(d)~} \color{red}{ q_{1} = ? } \), \(\quad \mathrm{(e)~} \color{red}{ V_{2} = ? } \), \(\quad \mathrm{(f)~} \color{red}{ q_{2} = ? } \), \(\quad \mathrm{(g)~} \color{red}{ V_{3} = ? } \), \(\quad \mathrm{(h)~} \color{red}{ q_{3} = ? } \)


\( C_{3}, C_{5} \) en serie

\[ \begin{align*}C_{35} &= \left( \frac{1}{4\mu} + \frac{1}{4\mu} \right)^{-1}\\C_{35} &= 2\mu\mathrm{~F}\end{align*} \]


\( C_{4}, C_{35}, C_{2} \) en paralelo

\[ \begin{align*}C_{4352} &= C_{4} + C_{35} + C_{2}\\C_{4352} &= 2\mu + 2\mu +2\mu\\C_{4352} &= 6\mu\mathrm{~F}\end{align*} \]


\( C_{6}, C_{1} \) en paralelo

\[ \begin{align*}C_{61} &= C_{6} + C_{1} = 3\mu+3\mu\\C_{61} &= 6\mu\mathrm{~F}\end{align*} \]


\( C_{4352}, C_{61} \) en serie

\[ \begin{align*}C_{eq} &= \left( \frac{1}{6\mu} + \frac{1}{6\mu} \right)^{-1}\\C_{eq} &= 3\mu\mathrm{~F} \qquad \color{red}{\mathrm{(a)}}&\\Q &= C\,V = 3\mu\,(20)\\Q &= 60\mu\mathrm{~C} \qquad \color{red}{\mathrm{(b)}}\\&\\V_{6} &= V_{1}=V_{61} = 10\mathrm{~V} \qquad \color{red}{\mathrm{(c)}}\\&\\q_{1} &= C_{1}\,V_{1} = 3\mu\,(10)\\q_{1} &= 30\mu\mathrm{~C} \qquad \color{red}{\mathrm{(d)}}&\\V_{4} &= V_{35}=V_{2}=V_{4352} = 10\mathrm{~V} \qquad \Longrightarrow V_{2} = 10\mathrm{~V} \qquad \color{red}{\mathrm{(e)}}\\q_{2} &= C_{2}\,V_{2} = 2\mu\,(10) = 20\mu\mathrm{~C} \qquad \Longrightarrow q_{2} = 20\mathrm{~C} \qquad \color{red}{\mathrm{(f)}}\\q_{35} &= C_{35}\,V_{35} = 2\mu\,(10) = 20\mu\mathrm{~C}\\q_{35} &= q_{3} = q_{5} = 20\mu\mathrm{~C} \qquad \Longrightarrow q_{3} = 20\mathrm{~C} \qquad \color{red}{\mathrm{(h)}}\\V_{3} &= \frac{q_{3}}{C_{3}} = \frac{20\mu}{4\mu} \qquad \Longrightarrow V_{3} = 5\mathrm{~V} \qquad \color{red}{\mathrm{(g)}}\end{align*} \]










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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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