Ejercicio Resuelto 006 (Capacitancia y dieléctricos)

 En la figura, una batería de \(20.0 \mathrm{~V}\) se conecta a través de los capacitores de capacitancias \(C_{1}=C_{6}=3.00 \mu \mathrm{F}\) y \(C_{3}=C_{5}=2.00 C_{2}=2.00 C_{4}=4.00 \mu \mathrm{F}\). ¿Cuál es (a) la capacitancia equivalente \(C_{e q}\) de los capacitores y (b) la carga almacenada por \(C_{e q}\) ¿Cuáles son (c) \(V_{1}\) y (d) \(q_{1}\) del capacitor 1, (e) \( V_{2} \) y (f) \( q_{2} \) del condensador 2, (g) \( V_{3} \) y (h) \( q_{3} \) del condensador 3?


Solución:

Datos: \( V = 20.0\,\mathrm{V} \), \(\quad C_{1}=C_{6} = 3.00\,\mu\mathrm{~F} \),  \(\quad C_{3}=C_{5} = 2.00\,C_{2}=2.00\,C_{4}=4.00\,\mu\mathrm{~F} \),   \(\quad \mathrm{(a)~}  \color{red}{ C_{eq} = ? } \),  \( \quad \mathrm{(b)~}\color{red}{ Q = ? } \), \(\quad \mathrm{(c)~} \color{red}{ V_{1} = ? } \), \(\quad \mathrm{(d)~} \color{red}{ q_{1} = ? } \), \(\quad \mathrm{(e)~} \color{red}{ V_{2} = ? } \), \(\quad \mathrm{(f)~} \color{red}{ q_{2} = ? } \), \(\quad \mathrm{(g)~} \color{red}{ V_{3} = ? } \), \(\quad \mathrm{(h)~} \color{red}{ q_{3} = ? } \)


\( C_{3}, C_{5} \) en serie

\[ \begin{align*}C_{35} &= \left( \frac{1}{4\mu} + \frac{1}{4\mu} \right)^{-1}\\C_{35} &= 2\mu\mathrm{~F}\end{align*} \]


\( C_{4}, C_{35}, C_{2} \) en paralelo

\[ \begin{align*}C_{4352} &= C_{4} + C_{35} + C_{2}\\C_{4352} &= 2\mu + 2\mu +2\mu\\C_{4352} &= 6\mu\mathrm{~F}\end{align*} \]


\( C_{6}, C_{1} \) en paralelo

\[ \begin{align*}C_{61} &= C_{6} + C_{1} = 3\mu+3\mu\\C_{61} &= 6\mu\mathrm{~F}\end{align*} \]


\( C_{4352}, C_{61} \) en serie

\[ \begin{align*}C_{eq} &= \left( \frac{1}{6\mu} + \frac{1}{6\mu} \right)^{-1}\\C_{eq} &= 3\mu\mathrm{~F} \qquad \color{red}{\mathrm{(a)}}&\\Q &= C\,V = 3\mu\,(20)\\Q &= 60\mu\mathrm{~C} \qquad \color{red}{\mathrm{(b)}}\\&\\V_{6} &= V_{1}=V_{61} = 10\mathrm{~V} \qquad \color{red}{\mathrm{(c)}}\\&\\q_{1} &= C_{1}\,V_{1} = 3\mu\,(10)\\q_{1} &= 30\mu\mathrm{~C} \qquad \color{red}{\mathrm{(d)}}&\\V_{4} &= V_{35}=V_{2}=V_{4352} = 10\mathrm{~V} \qquad \Longrightarrow V_{2} = 10\mathrm{~V} \qquad \color{red}{\mathrm{(e)}}\\q_{2} &= C_{2}\,V_{2} = 2\mu\,(10) = 20\mu\mathrm{~C} \qquad \Longrightarrow q_{2} = 20\mathrm{~C} \qquad \color{red}{\mathrm{(f)}}\\q_{35} &= C_{35}\,V_{35} = 2\mu\,(10) = 20\mu\mathrm{~C}\\q_{35} &= q_{3} = q_{5} = 20\mu\mathrm{~C} \qquad \Longrightarrow q_{3} = 20\mathrm{~C} \qquad \color{red}{\mathrm{(h)}}\\V_{3} &= \frac{q_{3}}{C_{3}} = \frac{20\mu}{4\mu} \qquad \Longrightarrow V_{3} = 5\mathrm{~V} \qquad \color{red}{\mathrm{(g)}}\end{align*} \]










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Pregunta: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x
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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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