Ejercicio Resuelto 008 (Capacitancia y Dieléctricos)

 En la figura, dos capacitores de placas paralelas (con aire entre las placas) están conectados a una batería. El capacitor 1 tiene un área de la placa de \(1.5 \mathrm{~cm}^{2} \) y un campo eléctrico (entre sus placas) de magnitud \(2.000 \mathrm{~V} / \mathrm{m}\). El capacitor 2 tiene un área de la placa de \(0.70 \mathrm{~cm}^{2}\) y un campo eléctrico de magnitud \(1.500 \mathrm{~V} / \mathrm{m} .\) ¿Cuál es la carga total de los dos condensadores?

Solución:

Datos: \( C_{1}\longrightarrow A_{1} = 1.5\,\mathrm{cm}^{2}, E_{1} = 2.000\mathrm{~V/m} \); \(\quad C_{2} \longrightarrow A_{2} = 0.70\,\mathrm{cm}^{2}, E_{2} = 1.500\mathrm{~V/m} \); \( \color{red}{ \quad Q_{T} = ? } \)


\[ \begin{align*}\epsilon_{o}\oint\vec{E}\cdot\vec{A} &= q_{enc}\\\epsilon_{o}\,E\,A &= Q\\&\\Q_{1} &= \epsilon_{o}\,E_{1}\,A_{1} = 8.85\times10^{-12}\,(2)\,(1.5\times10^{-4})\\Q_{1} &= 2.655\times10^{-15}\,\mathrm{C}\\&\\Q_{2} &= \epsilon_{o}\,E_{2}\,A_{2} = 8.85\times10^{-12}\,(1.5)\,(0.70\times10^{-4})\\Q_{2} &= 9.293\times10^{-16}\,\mathrm{C}\\&\\Q_{T} &= Q_{1} + Q_{2} = 3.58\times10^{-15}\,\mathrm{C}\end{align*} \]












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Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*}

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Pregunta: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x
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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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