Ley de Coulomb (Ejercicio Resuelto 003)

 Disponemos de tres bolitas esféricas conductoras idénticas \(A\), \(B\) y \(C\) de radio tan pequeño que se pueden considerar puntuales. Las dos primeras esferillas están fijas a una distancia \(l=100\,\mathrm{cm}\) y tienen una carga eléctrica negativa, siendo la de \(A\) cinco veces mayor que la de \(B\). La esferilla \(C\) se encuentra inicialmente en estado neutro y se puede mover libremente a lo largo de la recta \(AB\) horizontal. (a) Cogemos la bolita \(C\) con unas pinzas aislantes y la ponemos en contacto con la \(A\), dejándola luego en libertad. Determinar la posición en que dicha bolita \(C\) quedará en equilibrio. (b) Volvemos a coger la bolita \(C\) con las pinzas, poniéndola en contacto con la \(B\) y dejándola posteriormente libre. Determinar la nueva posición de equilibrio.

SOLUCIÓN.

DATOS: \(\qquad q_A\), \(\qquad q_B\), \(\qquad q_C\), \(\qquad q_A=5\, q_B\), \(\qquad l=100\,\mathrm{cm}\)

Cuando \(q_A\) y \(q_C\) se ponen en contacto y \(q_C\) se deja libre, se tiene:


\[ \begin{aligned} &F_{CB}=F_{CA}\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{\left(q_A/2\right)\left(q_A/5\right)}{\left(l-x\right)^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{\left(q_A/2\right)^{2}}{x^{2}}\\ &\frac{q_A}{5}\frac{1}{\left(l-x\right)^{2}}=\frac{q_A}{2}\frac{1} {x^2}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{x=0.613\,\mathrm{m}}\;\mathrm{(a)} \end{aligned} \]

Nuevamente \(q_C*\) se pone en contacto con \(q_B\), entonces:

\[ q_C**=q_B*=\frac{q_A/2+q_A/5}{2}=\frac{7}{20}q_A \]


\[ \begin{aligned} \frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{\displaystyle\frac{7}{20}q_A\frac{7}{20}q_A}{\left(l-x\right)^{2}}&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{\displaystyle\frac{7}{20}q_A\frac{q_A}{2}}{x^{2}}\\ \frac{7}{20}\frac{1}{\left(l-x\right)^{2}}&=\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{x=0.544\,\mathrm{m}}\;\mathrm{(b)} \end{aligned} \]

Por tanto, (a) la posición en la cual la bolita \(C\) quedará en equilibrio es de \(0.613\,\mathrm{m}\). (b) Luego, la nueva posición de la bolita \(C\) en la que quedará en equilibrio es de \(0.544\,\mathrm{m}\).

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