Ley de Coulomb (Ejercicio Resuelto 005)

 Dos esferas conductoras idénticas, con cargas de signo opuesto, se atraen con una fuerza de \(0.108\,\mathrm{N}\) al estar separados \(0.5\,\mathrm{m}\). Las esferas se interconectan con un alambre conductor y a continuación se desconectan. En esta nueva situación se repelen con una fuerza de \(0.036\,\mathrm{N}\). ¿Cuáles eran las cargas iniciales en las esferas?

SOLUCIÓN.

Datos: \(\qquad q_1=\,?\), \(\qquad q_2=\,?\), \(\qquad F_i=0.108\,\mathrm{N}\), \(\qquad r=0.5\,\mathrm{m}\), \(\qquad F_f=0.036\,\mathrm{N}\)


\[ \begin{aligned} &F_i=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q_1\,q_2}{r^{2}}=0.108\,\mathrm{N}\qquad\qquad\qquad &&F_f=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{q_1+q_2}{2}\right)^{2}}{r^{2}}=0.036\,\mathrm{N}\\ &q_1\,q_2=-3\times10^{-12}\,\mathrm{C^{2}}\longrightarrow\mathrm{(I)} &&q_1+q_2=2\times10^{-6}\,\mathrm{C^{2}}\longrightarrow\mathrm{(II)} \end{aligned}\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones \(\mathrm{(I)}\) y \(\mathrm{(II)}\), se tiene:

\[ \begin{aligned} &q_2=3\times10^{-6}\,\mathrm{C}\qquad\text{ó}\qquad q_2=-1\times10^{-6}\,\mathrm{C}\\ &q_1=-1\times10^{-6}\,\mathrm{C}\qquad\text{ó}\qquad q_1=3\times10^{-6}\,\mathrm{C} \end{aligned} \]

Por tanto, las cargas iniciales en las esferas eran de \(3\times10^{-6}\,\mathrm{C}\) y \(-1\times10^{-6}\,\mathrm{C}\).


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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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