Ley de Coulomb (Ejercicio Resuelto 006)

 Una carga \(q=2\times10^{-5}\,\mathrm{C}\) es dividida en dos cargas puntiformes de valores \(q_1\) y \(q-q_1\) colocados a una distancia \(d=1\,\mathrm{m}\) una de la otra en el vacío. Se pide hallar las dos fracciones de la carga \(q\) que, en la situación especificada; dan una fuerza de repulsión máxima y el valor de esta fuerza.

SOLUCION.

Datos: \(\qquad q=2\times10^{-5}\,\mathrm{C}\), \(\qquad d=1\,\mathrm{m}\), \(\qquad F_{max}=\,?\)


\[ \begin{aligned} &F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q_1(q-q_1)}{d^{2}}\;\Longrightarrow\;\frac{dF}{dq_1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{1}{d^{2}}(q-2q_1)=0\\ &\boxed{q_1=\frac{q}{2}}\\ &F_{max}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q}{2}\frac{(q-\frac{q}{2})}{d^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q}{2}\frac{(q\frac{1}{2})}{d^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{4}\frac{1}{d^{2}}\\ &F_{max}=9\times10^{9}\frac{\left(2\times10^{-5}\right)^{2}}{4}\frac{1}{1^{2}}\\ &\boxed{F_{max}=0.9\,\mathrm{N}} \end{aligned} \]

Por tanto, se tiene que el valor de la carga \(q\) en la situación especificada es el doble de \(q_1\) y la fuerza de repulsión máxima es \(0.9\,\mathrm{N}\).


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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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