Ley de Coulomb (Ejercicio Resuelto 007)

 Dos esferas idénticas de corcho de masa \(m\) y carga \(q\), están suspendidas del mismo punto de dos cuerdas de longitud \(L\). Hallar el ángulo \(\theta\) que las cuerdas forman con la vertical una vez logrado el equilibrio.

SOLUCIÓN.

Datos: \(\qquad m\), \(\qquad q\), \(\qquad L\), \(\qquad \theta=\,?\)

\[ \begin{aligned} &\sum F_H=0:\qquad T\,\sin\theta=F_R\qquad\mathrm{(1)}\\ &\sum F_v=0:\qquad T\,\cos\theta=mg\qquad\mathrm{(2)}\\ \end{aligned} \]

Dividiendo \(\mathrm(1)\) y \(\mathrm{(2)}\):

\[ \begin{aligned} &\frac{T\,\sin\theta}{T\,\cos\theta}=\frac{F_R}{m\,g}\,\,\Longrightarrow\,\,\tan\theta=\frac{F_R}{mg}\qquad\mathrm{(3)}\\ &\sin\theta=\frac{r}{2L}\,\,\Longrightarrow\,\, r=2L\sin\theta\\ &F_R=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{r^{2}} \end{aligned} \]

Reemplazando en \(\mathrm{(3)}\):

\[ \begin{aligned} &\tan\theta=\frac{1}{mg}\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{4L^{2}\sin^{2}\theta}\\ &\boxed{\tan\theta\,\sin^{2}\theta=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{4L^{2}mg}} \end{aligned} \]


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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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