Ley de Coulomb (Ejercicio Resuelto 007)

 Dos esferas idénticas de corcho de masa \(m\) y carga \(q\), están suspendidas del mismo punto de dos cuerdas de longitud \(L\). Hallar el ángulo \(\theta\) que las cuerdas forman con la vertical una vez logrado el equilibrio.

SOLUCIÓN.

Datos: \(\qquad m\), \(\qquad q\), \(\qquad L\), \(\qquad \theta=\,?\)

\[ \begin{aligned} &\sum F_H=0:\qquad T\,\sin\theta=F_R\qquad\mathrm{(1)}\\ &\sum F_v=0:\qquad T\,\cos\theta=mg\qquad\mathrm{(2)}\\ \end{aligned} \]

Dividiendo \(\mathrm(1)\) y \(\mathrm{(2)}\):

\[ \begin{aligned} &\frac{T\,\sin\theta}{T\,\cos\theta}=\frac{F_R}{m\,g}\,\,\Longrightarrow\,\,\tan\theta=\frac{F_R}{mg}\qquad\mathrm{(3)}\\ &\sin\theta=\frac{r}{2L}\,\,\Longrightarrow\,\, r=2L\sin\theta\\ &F_R=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{r^{2}} \end{aligned} \]

Reemplazando en \(\mathrm{(3)}\):

\[ \begin{aligned} &\tan\theta=\frac{1}{mg}\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{4L^{2}\sin^{2}\theta}\\ &\boxed{\tan\theta\,\sin^{2}\theta=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{4L^{2}mg}} \end{aligned} \]


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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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