Ley de Coulomb (Ejercicio Resuelto 010)

 Calcular la fuerza total que ejerce la varilla con carga uniforme \(+Q\) de radio \(R\) sobre una carga \(q\) negativa que se encuentra en el punto \(P\).

SOLUCIÓN.

Datos: \(\qquad +Q\), \(\qquad R\), \(\qquad q\), \(\qquad F=\,?\)




\[ \begin{aligned} &dF_x=dF\sin\theta\\ &dF_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{qdQ}{R^{2}}\sin\theta\\ &dF_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\lambda Rd\theta}{R^{2}}\sin\theta\\ &F_x=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\lambda Rd\theta}{R^{2}}\sin\theta\,d\theta\\ &F_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\\ &F_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,\lambda}{R}\left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi}\\ &F_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,\lambda}{R}[2]\;;\;\lambda=\frac{Q}{\pi R}\\ &\boxed{F_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{2qQ}{\pi R^{2}}}\\ &\text{Tiene una dirección en el eje \(x\) negativo.} \end{aligned} \]






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Pregunta: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x
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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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