Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 001)

 Una esfera metálica conductora tiene una densidad superficial de carga igual a \(8.85\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{2}}\). Calcular el radio de dicha esfera, sabiendo que la intensidad del campo eléctrico creado por ella en un punto situado exteriormente a \(2\,\mathrm{m}\) de su superficie es \(3600\,\mathrm{N/C}\).

SOLUCIÓN.

Datos: \(\qquad \sigma=8.85\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{2}}\),\(\qquad E=3600\,\mathrm{N/C}\),\(\qquad R=\,?\)


Por la Ley de Gauss:

\[ \begin{aligned} \varepsilon_o\int\vec{E}\,d\vec{A}=Q_{enc}\\ \int E\,dA\cos(0)=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ E\int dA=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ E\left(4\pi r^{2}\right)=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_o} \end{aligned} \]

Pero:

\[ \begin{aligned} &r=R+2\,\mathrm{m}\\ &\sigma=\frac{Q_{enc}}{A_{esf}}\;\;\Longrightarrow\;\; Q_{enc}=\sigma A_{esf}=\sigma\left(4\pi R^{2}\right) \end{aligned} \]

Reemplazando se tiene:

\[ \begin{aligned} E\,4\pi\left(R+2\mathrm{m}\right)^{2}&=\frac{\sigma 4\pi R^{2}}{\varepsilon_o}\\ \left(\frac{R+2\mathrm{m}}{R}\right)^{2}&=\frac{\sigma}{\varepsilon_o E}\\ 1+\frac{2\mathrm{m}}{R}&=\sqrt{\frac{\sigma}{\varepsilon_oE}}\\ \frac{2\mathrm{m}}{R}&=\sqrt{\frac{\sigma}{\varepsilon_oE}}-1\\ R&=\frac{2\mathrm{m}}{\sqrt{\frac{\sigma}{\varepsilon_oE}}-1}\\ &\boxed{R=3\,\mathrm{m}} \end{aligned} \]






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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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