Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 001)

 Una esfera metálica conductora tiene una densidad superficial de carga igual a \(8.85\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{2}}\). Calcular el radio de dicha esfera, sabiendo que la intensidad del campo eléctrico creado por ella en un punto situado exteriormente a \(2\,\mathrm{m}\) de su superficie es \(3600\,\mathrm{N/C}\).

SOLUCIÓN.

Datos: \(\qquad \sigma=8.85\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{2}}\),\(\qquad E=3600\,\mathrm{N/C}\),\(\qquad R=\,?\)


Por la Ley de Gauss:

\[ \begin{aligned} \varepsilon_o\int\vec{E}\,d\vec{A}=Q_{enc}\\ \int E\,dA\cos(0)=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ E\int dA=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ E\left(4\pi r^{2}\right)=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_o} \end{aligned} \]

Pero:

\[ \begin{aligned} &r=R+2\,\mathrm{m}\\ &\sigma=\frac{Q_{enc}}{A_{esf}}\;\;\Longrightarrow\;\; Q_{enc}=\sigma A_{esf}=\sigma\left(4\pi R^{2}\right) \end{aligned} \]

Reemplazando se tiene:

\[ \begin{aligned} E\,4\pi\left(R+2\mathrm{m}\right)^{2}&=\frac{\sigma 4\pi R^{2}}{\varepsilon_o}\\ \left(\frac{R+2\mathrm{m}}{R}\right)^{2}&=\frac{\sigma}{\varepsilon_o E}\\ 1+\frac{2\mathrm{m}}{R}&=\sqrt{\frac{\sigma}{\varepsilon_oE}}\\ \frac{2\mathrm{m}}{R}&=\sqrt{\frac{\sigma}{\varepsilon_oE}}-1\\ R&=\frac{2\mathrm{m}}{\sqrt{\frac{\sigma}{\varepsilon_oE}}-1}\\ &\boxed{R=3\,\mathrm{m}} \end{aligned} \]






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