Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 002)

 Una carga eléctrica puntual de \(2\,\mathrm{\mu C}\) se encuentra situada en el centro geométrico de un cubo de \(2\,\mathrm{m}\) de arista. El medio es el vacío. Calcular:

(a) La intensidad de campo en el centro de una de las caras.
(b) El flujo eléctrico a través de la superficie cúbica.
(c) El flujo eléctrico a través de una de las caras.

SOLUCION.

Datos: \(\qquad q=2\,\mu C\),\(\qquad a=2\,\mathrm{m}\)


(a) Intensidad de campo en el centro de una de las caras.

\[ \begin{aligned} E_p&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q}{r^{2}}\\ &=9\times10^{9}\frac{\mathrm{N\,m^{2}}}{\mathrm{C^{2}}}\times\frac{2\times10^{-6}\,\mathrm{C}}{1\,\mathrm{m^{2}}}\\ &=1800=\boxed{1.8\times10^{4}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}} \end{aligned} \]

(b) Nos imaginamos al cubo como una superficie gaussiana que encierra a la carga puntual.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_o&\Phi=Q_{enc}\\ &\Phi=\frac{q}{\varepsilon_o}\\ &\Phi=\frac{2\times10^{-6}\,\mathrm{C}}{8.85\times10^{-12}\,\displaystyle\frac{\mathrm{C^{2}}}{\mathrm{N}}\mathrm{m^{2}}}\\ &\Phi=225988.70\,\frac{\mathrm N}{\mathrm C}\mathrm{m^{2}}\\ &\boxed{\Phi=2.26\times10^{5}\,\frac{\mathrm N}{\mathrm C}\mathrm{m^{2}}} \end{aligned} \]

(c) El flujo en una cara será \(1/6\) del flujo total.

\[ \begin{aligned} &\Phi_c=\frac{1}{6}\Phi\\ &\Phi_c=\frac{1}{6}\left(2.26\times10^{5}\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}\mathrm{m^{2}}\right)\\ &\Phi_c=37664.78\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}\mathrm{m^{2}}\\ &\boxed{\Phi_c=3.77\times10^{4}\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}\mathrm{m^{2}}} \end{aligned} \]





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