Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 003)

 Calcular el flujo de campo eléctrico que atraviesa un hemisferio de radio \(R\), situado en el interior de un campo \(\vec{E}\) uniforme y paralelo al eje del hemisferio.

SOLUCIÓN.

Datos: \(\qquad R\),\(\qquad\vec{E}\),\(\qquad\Phi=\,?\)


El flujo está definido por:

\[ \begin{aligned} \Phi&=\int\vec{E}\,d\vec{A}\\ &=\int E\,dA\cos\theta \end{aligned} \]

Pero del gráfico se sabe que:

\[ \begin{aligned} dA=R\,\sin\theta\,d\phi\,R\,d\theta \end{aligned} \]

Entonces:

\[ \begin{aligned} &\Phi=\int\int E\left(R^{2}\sin\theta\,d\phi\,d\theta\right)\cos\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\phi\,d\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\,2\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\,2\pi\,\frac{1}{2}\\ &\boxed{\Phi=E\,\pi\,R^{2}} \end{aligned} \]









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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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