Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 003)

 Calcular el flujo de campo eléctrico que atraviesa un hemisferio de radio \(R\), situado en el interior de un campo \(\vec{E}\) uniforme y paralelo al eje del hemisferio.

SOLUCIÓN.

Datos: \(\qquad R\),\(\qquad\vec{E}\),\(\qquad\Phi=\,?\)


El flujo está definido por:

\[ \begin{aligned} \Phi&=\int\vec{E}\,d\vec{A}\\ &=\int E\,dA\cos\theta \end{aligned} \]

Pero del gráfico se sabe que:

\[ \begin{aligned} dA=R\,\sin\theta\,d\phi\,R\,d\theta \end{aligned} \]

Entonces:

\[ \begin{aligned} &\Phi=\int\int E\left(R^{2}\sin\theta\,d\phi\,d\theta\right)\cos\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\phi\,d\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\,2\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\,2\pi\,\frac{1}{2}\\ &\boxed{\Phi=E\,\pi\,R^{2}} \end{aligned} \]









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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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