Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 003)

 Calcular el flujo de campo eléctrico que atraviesa un hemisferio de radio \(R\), situado en el interior de un campo \(\vec{E}\) uniforme y paralelo al eje del hemisferio.

SOLUCIÓN.

Datos: \(\qquad R\),\(\qquad\vec{E}\),\(\qquad\Phi=\,?\)


El flujo está definido por:

\[ \begin{aligned} \Phi&=\int\vec{E}\,d\vec{A}\\ &=\int E\,dA\cos\theta \end{aligned} \]

Pero del gráfico se sabe que:

\[ \begin{aligned} dA=R\,\sin\theta\,d\phi\,R\,d\theta \end{aligned} \]

Entonces:

\[ \begin{aligned} &\Phi=\int\int E\left(R^{2}\sin\theta\,d\phi\,d\theta\right)\cos\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\phi\,d\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\,2\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\,2\pi\,\frac{1}{2}\\ &\boxed{\Phi=E\,\pi\,R^{2}} \end{aligned} \]









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