Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 004)

 Ocho cargas iguales de \(5\times10^{-4}\,\mathrm{C}\) se encuentran situados en los vértices de un cubo regular de \(1\,\mathrm{m}\) de lado. En el centro del cubo se encuentra situada una novena carga de valor \(-7\times10^{-3}\,\mathrm{C}\). Si consideramos una superficie esférica con centro coincidente con el del cubo y radio \(R\), calcular el flujo del campo eléctrico creado a través de dicha superficie, en los siguientes supuestos:

    (a) El radio de la esfera tiene un valor \(R_1=0.5\,\mathrm{m}\)

    (b) El radio de la esfera vale \(R_2=2\,\mathrm{m}\)

SOLUCION.

Datos: \(\quad q_1=5\times10^{-4}\,\mathrm{C}\),\(\quad l=1\,\mathrm{m}\),\(\quad q_2=-7\times10^{-3}\,\mathrm{C}\), \(\quad\text{(a)}\;\Phi_1=?\),\(\quad\text{(b)}\;\Phi_2=?\)

    (a) Para \(R=R_1=0.5\,\mathrm{m}\)

\[ \begin{aligned} \Phi_1=\dfrac{q_2}{\varepsilon_o}=\dfrac{-7\times10^{-3}\,\mathrm{C}}{8.85\times10^{-12}\dfrac{\mathrm{C}^{2}}{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Phi_1=7.9\times10^{8}\,\mathrm{Vm}} \end{aligned} \]

    (b) Para \(R=R_2=2\,\mathrm{m}\)

\[ \begin{aligned} \Phi_2=\dfrac{-7\times10^{-3}\,\mathrm{C}+8\times5\times10^{-4}\,\mathrm{C}}{8.85\times10^{-12}\dfrac{\mathrm{C}^{2}}{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Phi_2=3.39\times10^{8}\,\mathrm{Vm}} \end{aligned} \]






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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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