(a) Dos cargas iguales están localizadas en los puntos $(x=l, y=0)$ y $(x=-l, y=0)$. Determine el campo eléctrico como una función de $y$ para puntos a lo largo del eje $y$. (b) Demuestre que el campo tiene un máximo en $y=\pm l / \sqrt{2}$.

Pregunta:
(a) Dos cargas iguales están localizadas en los puntos $(x=l, y=0)$ y $(x=-l, y=0)$. Determine el campo eléctrico como una función de $y$ para puntos a lo largo del eje $y$. (b) Demuestre que el campo tiene un máximo en $y=\pm l / \sqrt{2}$.

Datos:

Resolucion: ejercicio campo electrico $$ \begin{aligned} &E=2 E_1 \sin \theta \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \sin \theta \\ &r=\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} \\ &\quad \sin \theta=\frac{y}{r}=\frac{y}{\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}} \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{y^2+l^2} \frac{y}{\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}} \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q y}{\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} $$ Para hallar el máximo $$ \begin{aligned} &\frac{d E}{d y}=0 \\ &\frac{d E}{d y}=A\left[\frac{1\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}-y \frac{3}{2}\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} 2 y}{\left(\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}\right)^2}\right] \\ &\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}-3 y^2\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}=0 \\ &\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}=3 y^2\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} \\ &\left(y^2+l^2\right)^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}=3 y^2 \\ &y^2+l^2=3 y^2 \\ &2 y^2=l^2 \\ &y^2=\frac{l^2}{2}\\ &y=\sqrt{\frac{l^2}{2}} \\ &y=\frac{l}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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