(a) Dos cargas iguales están localizadas en los puntos $(x=l, y=0)$ y $(x=-l, y=0)$. Determine el campo eléctrico como una función de $y$ para puntos a lo largo del eje $y$. (b) Demuestre que el campo tiene un máximo en $y=\pm l / \sqrt{2}$.

Pregunta:
(a) Dos cargas iguales están localizadas en los puntos $(x=l, y=0)$ y $(x=-l, y=0)$. Determine el campo eléctrico como una función de $y$ para puntos a lo largo del eje $y$. (b) Demuestre que el campo tiene un máximo en $y=\pm l / \sqrt{2}$.

Datos:

Resolucion: ejercicio campo electrico $$ \begin{aligned} &E=2 E_1 \sin \theta \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \sin \theta \\ &r=\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} \\ &\quad \sin \theta=\frac{y}{r}=\frac{y}{\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}} \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{y^2+l^2} \frac{y}{\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}} \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q y}{\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} $$ Para hallar el máximo $$ \begin{aligned} &\frac{d E}{d y}=0 \\ &\frac{d E}{d y}=A\left[\frac{1\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}-y \frac{3}{2}\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} 2 y}{\left(\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}\right)^2}\right] \\ &\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}-3 y^2\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}=0 \\ &\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}=3 y^2\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} \\ &\left(y^2+l^2\right)^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}=3 y^2 \\ &y^2+l^2=3 y^2 \\ &2 y^2=l^2 \\ &y^2=\frac{l^2}{2}\\ &y=\sqrt{\frac{l^2}{2}} \\ &y=\frac{l}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ?

Imagen
Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
Read more »

La figura muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo \(\theta=30.0^{\circ} \mathrm{y}\) una distancia \(d=2.00 \mathrm{~cm}\). La partícula 2 tiene una carga \(q_{2}=8.00 \times 10^{-19} \mathrm{C}\); las partículas 3 y 4 tienen cargas \(q_{3}=q_{4}=-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\). (a) ¿Cuál es la distancia \(D\) entre el origen y la partícula 2 si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 debida a las otras partículas es cero? (b) Si las partículas 3 y 4 se acercaran al eje \(x\) pero mantuvieran su simetría con respecto a ese eje, ¿el valor requerido de \(D\) sería mayor, menor o igual que en el inciso (a)?

Imagen
Pregunta: La figura 4 muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo \(\theta=30.0^{\circ} \mathrm{y}\) una distancia \(d=2.00 \mathrm{~cm}\). La partícula 2 tiene una carga \(q_{2}=8.00 \times 10^{-19} \mathrm{C}\); las partículas 3 y 4 tienen cargas \(q_{3}=q_{4}=-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\). (a) ¿Cuál es la distancia \(D\) entre el origen y la partícula 2 si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 debida a las otras partículas es cero? (b) Si las partículas 3 y 4 se acercaran al eje \(x\) pero mantuvieran su simetría con respecto a ese eje, ¿el valor requerido de \(D\) sería mayor, menor o igual que en el inciso (a)? Datos: Resolucion: Se asume \(q_{1}>0\) \begin{equation*} \begin{aligned} \sum F_{x}=0:-F_{12}+F_{13} \cos (\theta)+F_{14} \cos (\theta)=0 \label{ldccejer003eq01} \end{aligned} \end{equation*} Pero: \(F_{12}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{1} q_{2}}{\left(r_{12}\right)^{2}}, \quad F_{13}=\frac{1}{4 ...
Read more »

Obtenga la fuerza que actúa sobre una carga puntual positiva \(q\) situada a una distancia \(x\) del extremo de una varilla de longitud \(L\), con una carga positiva \(Q\) distribuida uniformemente (ver figura )

Imagen
Pregunta: Obtenga la fuerza que actúa sobre una carga puntual positiva \(q\) situada a una distancia \(x\) del extremo de una varilla de longitud \(L\), con una carga positiva \(Q\) distribuida uniformemente (ver figura) Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} d F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q d Q}{r^{2}}\\ &\lambda=\frac{d Q}{d x_{2}} \Rightarrow d Q=\lambda d x_{2}\\ d F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q \lambda d x_{2}}{\left(L+x-x_{2}\right)^{2}}\\ F&=\int_{0}^{1} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q \lambda d x_{2}}{\left(L+x-x_{2}\right)^{2}}\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \lambda \int_{0}^{L} \frac{1}{\left(L+x-x_{2}\right)^{2}} d x_{2}\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \lambda\left[-\frac{1}{-L-x+x_{2}}\right]_{0}^{L}\\ F&=\frac{1}{4 \pi E_{0}} q \lambda\left[-\frac{1}{-L-x+L}+\left(\frac{1}{-L-x+0}\right)\right]\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \lambda\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}\ri...
Read more »