(a) Dos cargas iguales están localizadas en los puntos $(x=l, y=0)$ y $(x=-l, y=0)$. Determine el campo eléctrico como una función de $y$ para puntos a lo largo del eje $y$. (b) Demuestre que el campo tiene un máximo en $y=\pm l / \sqrt{2}$.

Pregunta:
(a) Dos cargas iguales están localizadas en los puntos $(x=l, y=0)$ y $(x=-l, y=0)$. Determine el campo eléctrico como una función de $y$ para puntos a lo largo del eje $y$. (b) Demuestre que el campo tiene un máximo en $y=\pm l / \sqrt{2}$.

Datos:

Resolucion: ejercicio campo electrico $$ \begin{aligned} &E=2 E_1 \sin \theta \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \sin \theta \\ &r=\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} \\ &\quad \sin \theta=\frac{y}{r}=\frac{y}{\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}} \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{y^2+l^2} \frac{y}{\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}} \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q y}{\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} $$ Para hallar el máximo $$ \begin{aligned} &\frac{d E}{d y}=0 \\ &\frac{d E}{d y}=A\left[\frac{1\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}-y \frac{3}{2}\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} 2 y}{\left(\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}\right)^2}\right] \\ &\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}-3 y^2\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}=0 \\ &\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}=3 y^2\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} \\ &\left(y^2+l^2\right)^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}=3 y^2 \\ &y^2+l^2=3 y^2 \\ &2 y^2=l^2 \\ &y^2=\frac{l^2}{2}\\ &y=\sqrt{\frac{l^2}{2}} \\ &y=\frac{l}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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