Dos cargas puntuales positivas e iguales \(q\) son sostenidas separadas una distancia fija \(2 a\). Se coloca una carga puntual de prueba en un plano normal a la línea que une las cargas y a la mitad entre ellas (ver figura). Determine el radio \(R\) del círculo en este plano en el cual la fuerza que opera sobre la partícula de prueba alcanza su valor máximo.

Pregunta:
Dos cargas puntuales positivas e iguales \(q\) son sostenidas separadas una distancia fija \(2 a\). Se coloca una carga puntual de prueba en un plano normal a la línea que une las cargas y a la mitad entre ellas (ver figura). Determine el radio \(R\) del círculo en este plano en el cual la fuerza que opera sobre la partícula de prueba alcanza su valor máximo. alt text

Datos:

Resolucion: alt text Del gráfico: \(F=2 F_{31} \sin (\theta), \quad \sin (\theta)=\frac{R}{r}, \quad r=\sqrt{R^{2}+a^{2}}\) \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &F=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{o} q}{r^{2}} \frac{R}{r} \\ &F=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{o} q}{R^{2}+a^{2}} \frac{R}{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \\ &F=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} q_{o} q \frac{R}{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} Sea \(F=F(R)\), entonces: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &\frac{d F}{d R}=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} q_{o} q\left[\frac{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-R \frac{3}{2}\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 R)}{\left[\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right]^{2}}\right] \\ &\frac{d F}{d R}=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} q_{o} q\left[\frac{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-3 R^{2}\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{3}}\right] \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} \(F\) será máximo cuando \(\frac{d F}{d R}=0\) \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} \left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-3 R^{2}\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}} &=0 \\ 3 R^{2} &=R^{2}+a^{2} \\ R &=\frac{a}{\sqrt{2}} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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