Dos cargas puntuales positivas e iguales \(q\) son sostenidas separadas una distancia fija \(2 a\). Se coloca una carga puntual de prueba en un plano normal a la línea que une las cargas y a la mitad entre ellas (ver figura). Determine el radio \(R\) del círculo en este plano en el cual la fuerza que opera sobre la partícula de prueba alcanza su valor máximo.

Pregunta:
Dos cargas puntuales positivas e iguales \(q\) son sostenidas separadas una distancia fija \(2 a\). Se coloca una carga puntual de prueba en un plano normal a la línea que une las cargas y a la mitad entre ellas (ver figura). Determine el radio \(R\) del círculo en este plano en el cual la fuerza que opera sobre la partícula de prueba alcanza su valor máximo. alt text

Datos:

Resolucion: alt text Del gráfico: \(F=2 F_{31} \sin (\theta), \quad \sin (\theta)=\frac{R}{r}, \quad r=\sqrt{R^{2}+a^{2}}\) \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &F=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{o} q}{r^{2}} \frac{R}{r} \\ &F=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{o} q}{R^{2}+a^{2}} \frac{R}{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \\ &F=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} q_{o} q \frac{R}{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} Sea \(F=F(R)\), entonces: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &\frac{d F}{d R}=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} q_{o} q\left[\frac{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-R \frac{3}{2}\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}(2 R)}{\left[\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right]^{2}}\right] \\ &\frac{d F}{d R}=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} q_{o} q\left[\frac{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-3 R^{2}\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{3}}\right] \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} \(F\) será máximo cuando \(\frac{d F}{d R}=0\) \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} \left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-3 R^{2}\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}} &=0 \\ 3 R^{2} &=R^{2}+a^{2} \\ R &=\frac{a}{\sqrt{2}} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}

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