El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud.

Pregunta:
El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. alt text

Datos:

Resolucion: alt text \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1}{\left(y^2+x^2\right)^{3 / 2}} d y\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x\left[\frac{y}{x^2 \sqrt{y^2+x^2}}\right]_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x\left[\frac{l}{2} \frac{1}{x^2 \sqrt{\frac{l^2}{4}+x^2}}+\frac{l}{2} \frac{1}{x^2 \sqrt{\frac{l^2}{4}+x^2}}\right]\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \frac{l}{\frac{x^2}{2} \sqrt{l^2+4 x^2}} \end{aligned} \] $$ \begin{aligned} &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda \times \frac{2 l}{x^2\left(l^2+4 x^2\right)^{1 / 2}} \\ &E_x=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \frac{l}{x\left(l^2+4 x^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} $$ En conclusión el resultado es diferente a la del enunciado.

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