En la figura, la partícula 1 de carga \(+4 e\) está sobre un piso a una distancia \(d_{1}=2.00 \mathrm{~mm}\) y la partícula 2 de carga \(+6 e\) está en el piso, a una distancia \(d_{2}=6.00 \mathrm{~mm}\) horizontalmente de la partícula 1. ¿Cuál es la \(x\) componente de la fuerza electrostática sobre la partícula 2 debido a la partícula 1 ?

Pregunta:
En la figura 1, cuatro partículas forman un cuadrado. Las cargas son \(q_{1}=+Q, q_{2}=q_{3}=q \) y \(q_{4}=-2.00 Q \cdot\) ¿Cuál es \(q / Q\) si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 es cero? alt text

Datos:

Resolucion:
alt text Por la condición del enunciado, en el punto 1: \begin{equation*} \begin{aligned} \sum F_x &= 0 \notag \\ \sum F_y &= 0 \notag \\ \text{Entonces:} \\ -F_{12} + F_{14}\sin45^{\circ} &= 0 \label{ldc:ej02:eq01}\\ F_{13} - F_{14}\cos45^{\circ} &= 0 \label{ldc:ej02:eq02} \\ \text{Por la Ley de Coulomb se sabe:} \\ F_{12} &= \frac{1}{4\pi\epsilon_o}\frac{q_1\,q_2}{a^2} \label{ldc:ej02:eq03}\\ F_{14} &= \frac{1}{4\pi\epsilon_o}\frac{q_1\,q_4}{\left(a\sqrt{2}\right)^2} \label{ldc:ej02:eq04} \\ \text{Reemplazando:} \\ -\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\frac{q_1\,q_2}{a^2} + \frac{1}{4\pi\epsilon_o}\frac{q_1\,q_4}{\left( a\sqrt{2} \right)^2}\sin45^{\circ} &= 0 \notag\\ \frac{1}{4\pi\epsilon_o}q_1\left[ \frac{q_4}{\left(a\sqrt{2}\right)^2}\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{q_2}{a^2} \right] &= 0 \notag\\ \frac{q_4}{\left(a\sqrt{2}\right)^2}\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{q_2}{a^2} &= 0 \notag\\ \frac{2Q}{\left(a\sqrt{2}\right)^2}\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{q}{a^2} &= 0 \notag \\ \text{Despejando y simplificando:} \\ \frac{q}{Q} &= \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \notag \end{aligned} \end{equation*}

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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