Se sitúa un dipolo eléctrico de momento dipolar $p$ y momento de inercia $I$, en un campo eléctrico uniforme $\vec{E}$. (a) Si se hace girar el dipolo un ángulo $\theta$, como se muestra en la Figura, y se libera, ¿en qué condiciones oscilará con movimiento armónico simple? (b) ¿Cuál será su frecuencia de oscilación?

Pregunta:
Se sitúa un dipolo eléctrico de momento dipolar $p$ y momento de inercia $I$, en un campo eléctrico uniforme $\vec{E}$. (a) Si se hace girar el dipolo un ángulo $\theta$, como se muestra en la Figura, y se libera, ¿en qué condiciones oscilará con movimiento armónico simple? (b) ¿Cuál será su frecuencia de oscilación?

Datos:

Resolucion: Supongamos que tenemos un dipolo eléctrico con momento dipolar $\vec{p}$ y momento de inercia $I$, colocado en un campo eléctrico de $\vec{E}$, necesitamos la condición donde el dipolo oscilará en armónico simple oscilador. Un campo eléctrico produce un torque en un dipolo, ese torque le dará al dipolo una aceleración angular, en la dirección opuesta a $\theta$, y está dado por: $$ \tau=-p E \sin (\theta) $$ y también el par puede ser representado por el acelerador angular $\alpha$ y el momento de inercia $I$ como: $$ \tau=I \alpha $$ de las ecuaciones anteriores, obtenemos: $$ -p E \sin (\theta)=I \alpha $$ pero $\alpha=\frac{d^2 \theta}{d t^2}$, entonces: $$ \begin{aligned} &-p E \sin (\theta)=I \frac{d^2 \theta}{d t^2} \\ &\frac{d^2 \theta}{d t^2}+\frac{p E}{I} \sin (\theta)=0 \end{aligned} $$ Si $\theta$ es pequeño, entonces $\sin (\theta) \approx \theta$, entonces: $$ \frac{d^2 \theta}{d t^2}+\frac{p E}{I} \theta=0 $$ que es la ecuación diferencial del oscilador armónico simple con: $$ \omega=\sqrt{\frac{p E}{I}} $$ Si $\theta$ es pequeño, la ecuación de movimiento del dipolo es un oscilador armónico simple, $$ \frac{d^2 \theta}{d t^2}+\frac{p E}{I} \theta=0 $$