Suponga que la carga $Q$ en el anillo de la Figura está toda distribuida uniformemente sólo en la mitad superior del anillo y que no hay carga en la mitad inferior. Determine el campo $\vec{E}$ en P. (Tome y verticalmente hacia arriba).

Pregunta:
Suponga que la carga $Q$ en el anillo de la Figura está toda distribuida uniformemente sólo en la mitad superior del anillo y que no hay carga en la mitad inferior. Determine el campo $\vec{E}$ en P. (Tome y verticalmente hacia arriba). alt text

Datos:

Resolucion: alt text \[ \begin{aligned} &d E_x=d E \cos \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta\\ &\quad\lambda=\frac{d Q}{d l} \Rightarrow d Q=\lambda d l\\ &\quad d l=a d \varphi\\ &\quad \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a d \varphi}{\left(x^2+a^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^{1 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \int_0^\pi d \varphi\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \pi\\ &\quad \lambda=\frac{Q}{\pi a}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\pi a} \frac{a x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \pi\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} d E_y &=d E \sin \theta \\ d E_y &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a d \varphi}{\left(x^2+a^2\right)} \sin \theta \\ & \sin \theta=\frac{y}{r} \\ & \sin \varphi=\frac{y}{a} \Rightarrow y=a \sin \varphi \\ & \sin \theta=\frac{a \sin \varphi}{r} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a d \varphi}{\left(x^2+a^2\right)} \frac{a \sin \varphi}{\left(x^2+a^2\right)^{1 / 2}} \\ &d E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \sin \varphi d \varphi \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \int_0^\pi \sin \varphi d \varphi \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}[-\cos \varphi]_0^\pi \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}[-\cos \pi+\cos 0] \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}(-(-1)+1) \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} 2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &\quad \lambda=\frac{Q}{\pi a} \\ E_y=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\pi a} \frac{a^2 2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \\ E_y=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 Q a}{\pi\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} \] \[ \vec{E}=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}\right) \hat{i}-\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 Q a}{\pi\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}\right) \hat{j} \]

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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