Suponga que la carga $Q$ en el anillo de la Figura está toda distribuida uniformemente sólo en la mitad superior del anillo y que no hay carga en la mitad inferior. Determine el campo $\vec{E}$ en P. (Tome y verticalmente hacia arriba).

Pregunta:
Suponga que la carga $Q$ en el anillo de la Figura está toda distribuida uniformemente sólo en la mitad superior del anillo y que no hay carga en la mitad inferior. Determine el campo $\vec{E}$ en P. (Tome y verticalmente hacia arriba). alt text

Datos:

Resolucion: alt text \[ \begin{aligned} &d E_x=d E \cos \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta\\ &\quad\lambda=\frac{d Q}{d l} \Rightarrow d Q=\lambda d l\\ &\quad d l=a d \varphi\\ &\quad \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a d \varphi}{\left(x^2+a^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^{1 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \int_0^\pi d \varphi\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \pi\\ &\quad \lambda=\frac{Q}{\pi a}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\pi a} \frac{a x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \pi\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} d E_y &=d E \sin \theta \\ d E_y &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a d \varphi}{\left(x^2+a^2\right)} \sin \theta \\ & \sin \theta=\frac{y}{r} \\ & \sin \varphi=\frac{y}{a} \Rightarrow y=a \sin \varphi \\ & \sin \theta=\frac{a \sin \varphi}{r} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a d \varphi}{\left(x^2+a^2\right)} \frac{a \sin \varphi}{\left(x^2+a^2\right)^{1 / 2}} \\ &d E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \sin \varphi d \varphi \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \int_0^\pi \sin \varphi d \varphi \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}[-\cos \varphi]_0^\pi \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}[-\cos \pi+\cos 0] \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}(-(-1)+1) \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} 2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &\quad \lambda=\frac{Q}{\pi a} \\ E_y=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\pi a} \frac{a^2 2}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \\ E_y=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 Q a}{\pi\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} \] \[ \vec{E}=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}\right) \hat{i}-\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 Q a}{\pi\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}}\right) \hat{j} \]

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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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