Suponga que la varilla de la figura 6 tiene una densidad uniforme de carga positiva \(\lambda\) en su mitad superior y una densidad de carga uniforme \(-\lambda\) en su mitad inferior. Calcule la fuerza neta que opera sobre la carga puntual \(q_{0}\).

Pregunta:
Suponga que la varilla de la figura 6 tiene una densidad uniforme de carga positiva \(\lambda\) en su mitad superior y una densidad de carga uniforme \(-\lambda\) en su mitad inferior. Calcule la fuerza neta que opera sobre la carga puntual \(q_{0}\). alt text

Datos:

Resolucion: alt text \begin{equation*} \begin{aligned} \\ &\text{La fuerza neta sobre la partícula será:} \\ dF &= 2\,dF_{1}\sin(\theta) = 2\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\frac{q_o\,dq}{r^2}\sin(\theta) \\ &\text{Pero: $\displaystyle dq = \lambda\,dz $, $\quad$ $\displaystyle r = \sqrt{z^{2}+y^{2}} $, $\quad$ $ \displaystyle \sin(\theta)=\frac{z}{r} $ y reemplazando} \\ dF &= \frac{1}{2\pi\epsilon_{o}}\frac{q_{o}\lambda dz}{\left({ z^2 + y^2 }\right)^{2}}\frac{z}{z^2+y^2} \Longrightarrow F = \int_{0}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{2\pi\epsilon_{o}}\frac{q_{o}\lambda z\,dz}{\left({ z^2 + y^2 }\right)^{\frac{3}{2}}}\\ F &= \frac{1}{2\pi\epsilon_{o}}q_{o}\lambda\int_{0}^{\frac{L}{2}}\frac{z}{\left({ z^2+y^2 }\right)^{\frac{3}{2}}}\,dz\\ F &= \frac{1}{2\pi\epsilon_{o}}q_{o}\lambda\left[{ \frac{1}{y} - \frac{1}{\sqrt{ \frac{L^2}{4}+y^2 }} }\right] \end{aligned} \end{equation*}

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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