Tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa \(m=0.100 \mathrm{~kg}\), cuelgan de tres cuerdas como se muestra en la figura 3. Si las longitudes de las cuerdas izquierda y derecha son cada una \(L=30.0 \mathrm{~cm}\) y el ángulo \(\theta\) es \(45.0^{\circ}\), determine el valor de \(q\).

Pregunta:
Tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa \(m=0.100 \mathrm{~kg}\), cuelgan de tres cuerdas como se muestra en la figura 3. Si las longitudes de las cuerdas izquierda y derecha son cada una \(L=30.0 \mathrm{~cm}\) y el ángulo \(\theta\) es \(45.0^{\circ}\), determine el valor de \(q\). alt text

Datos:

Resolucion: alt text \begin{equation*} \begin{aligned} \sum F_{x} &= 0 \Longrightarrow -T\,\cos(\theta)+F_{31}+F_{32}=0 \\ \sum F_{y} &= 0 \Longrightarrow T\,\sin(\theta)-mg=0 \\ \text{De la ecuación anterior se tiene:} \\ T &= \frac{m\, g}{\sin(45)} = \frac{0.100\,\mathrm{kg}\,9.81\,{\mathrm{m}\mathrm{s}^{-2}}}{\sin(45)} \Longrightarrow T = 1.387\,\mathrm{N}\notag \\ \text{De la ecuación anterior se tiene:} \\ F_{31} + F_{32} &= T\,\cos(45)\notag \end{aligned} \end{equation*} Pero se sabe que: \(F_{31}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{3} q_{1}}{\left(r_{31}\right)^{2}}, F_{32}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{3} q_{2}}{\left(r_{32}\right)^{2}}\), entonces: \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{3} q_{1}}{\left(r_{31}\right)^{2}}+\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{2} q_{2}}{\left(r_{32}\right)^{2}}=T \cos (45) \end{aligned} \end{equation*} De los datos se conoce: \(q_{1}=q_{2}=q_{3}=+q, \quad r_{31}=2 L \sin (\theta), \quad r_{32}=L \sin (\theta)\)
Reemplazando \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q^{2}}{4 L^{2} \sin ^{2} \theta} &+\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q^{2}}{L^{2} \sin ^{2} \theta}=T \cos (\theta) \\ \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{o}}\left[\frac{1+4}{4 L^2 \sin ^{2} \theta}\right] &=T \cos (45) \\ q^{2} &=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}}\right)^{-1} \frac{4}{5} L^{2} \sin ^{2}(\theta) T \cos (45) \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} Finalmente: \(L=30 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\) \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} q &=\sqrt{\left(9 \times 10^{9}\right)^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\left(30 \times 10^{-2}\right)^{2} \sin ^{2}(45)(1.387) \cos (45)} \\ q &=1.98 \times 10^{-6} \mathrm{C} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}

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