Tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa \(m=0.100 \mathrm{~kg}\), cuelgan de tres cuerdas como se muestra en la figura 3. Si las longitudes de las cuerdas izquierda y derecha son cada una \(L=30.0 \mathrm{~cm}\) y el ángulo \(\theta\) es \(45.0^{\circ}\), determine el valor de \(q\).

Pregunta:
Tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa \(m=0.100 \mathrm{~kg}\), cuelgan de tres cuerdas como se muestra en la figura 3. Si las longitudes de las cuerdas izquierda y derecha son cada una \(L=30.0 \mathrm{~cm}\) y el ángulo \(\theta\) es \(45.0^{\circ}\), determine el valor de \(q\). alt text

Datos:

Resolucion: alt text \begin{equation*} \begin{aligned} \sum F_{x} &= 0 \Longrightarrow -T\,\cos(\theta)+F_{31}+F_{32}=0 \\ \sum F_{y} &= 0 \Longrightarrow T\,\sin(\theta)-mg=0 \\ \text{De la ecuación anterior se tiene:} \\ T &= \frac{m\, g}{\sin(45)} = \frac{0.100\,\mathrm{kg}\,9.81\,{\mathrm{m}\mathrm{s}^{-2}}}{\sin(45)} \Longrightarrow T = 1.387\,\mathrm{N}\notag \\ \text{De la ecuación anterior se tiene:} \\ F_{31} + F_{32} &= T\,\cos(45)\notag \end{aligned} \end{equation*} Pero se sabe que: \(F_{31}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{3} q_{1}}{\left(r_{31}\right)^{2}}, F_{32}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{3} q_{2}}{\left(r_{32}\right)^{2}}\), entonces: \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{3} q_{1}}{\left(r_{31}\right)^{2}}+\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{2} q_{2}}{\left(r_{32}\right)^{2}}=T \cos (45) \end{aligned} \end{equation*} De los datos se conoce: \(q_{1}=q_{2}=q_{3}=+q, \quad r_{31}=2 L \sin (\theta), \quad r_{32}=L \sin (\theta)\)
Reemplazando \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q^{2}}{4 L^{2} \sin ^{2} \theta} &+\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q^{2}}{L^{2} \sin ^{2} \theta}=T \cos (\theta) \\ \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{o}}\left[\frac{1+4}{4 L^2 \sin ^{2} \theta}\right] &=T \cos (45) \\ q^{2} &=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}}\right)^{-1} \frac{4}{5} L^{2} \sin ^{2}(\theta) T \cos (45) \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} Finalmente: \(L=30 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\) \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} q &=\sqrt{\left(9 \times 10^{9}\right)^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\left(30 \times 10^{-2}\right)^{2} \sin ^{2}(45)(1.387) \cos (45)} \\ q &=1.98 \times 10^{-6} \mathrm{C} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ?

Imagen
Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
Read more »

Ejercicio Resuelto 003 (Capacitancia y Dieléctricos)

  Un capacitor de placas paralelas de \(10.0 \mu \mathrm{F}\) con placas circulares está conectado a una batería de \(12.0 \mathrm{~V}\). (a) ¿Cuál es la carga en cada placa? (b) ¿Cuánta carga habría en las placas si se duplicara la separación y el capacitor permaneciera conectado a la batería? (c) ¿Cuánta carga habría en las placas si el capacitor se conectara a la batería de \(12.0 \mathrm{~V}\) después de duplicar el radio de cada placa sin modificar su separación? Solución: Datos: \( C = 10\,\mu\mathrm{F} \), \( V = 12\,\mathrm{V} \), \( \color{red}{ (a)\,Q = ?,\,d,\,V } \), \( \color{red}{ (b)\;Q = ?,\,2d,\,V } \), \( \color{red}{ (c)\,Q = ?,\,2r,\,d\,V } \) (a)  \[ \begin{align*}C &=\frac{Q}{V} \\Q &=C V \\Q &=10 \times 10^{-6}(12) \\Q &=1.2 \times 10^{-4} \mathrm{C}\end{align*} \] (b) \[ \begin{align*}C &=\frac{Q}{V} \\C_{b} &=\epsilon_{0} \frac{A}{2 d} \\C_{b} &=\frac{1}{2} \epsilon_{0} \frac{A}{\partial} \\C_{b} &=\frac{C}{2} \\Q ...
Read more »

El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud.

Imagen
Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
Read more »