Una partícula de carga negativa \(-q\) está situada en el centro de un anillo con carga uniforme, que tiene una carga positiva total \(Q\), como se muestra en la figura 7. La partícula, limitada a moverse a lo largo del eje \(x\), es desplazada una pequeña distancia \(x\) (donde \(x \ll a\) ) y luego se le libera. Demuestre que la partícula oscila en un movimiento armónico simple con una frecuencia dada por

Pregunta:
Una partícula de carga negativa \(-q\) está situada en el centro de un anillo con carga uniforme, que tiene una carga positiva total \(Q\), como se muestra en la figura 7. La partícula, limitada a moverse a lo largo del eje \(x\), es desplazada una pequena distancia \(x\) (donde \(x \ll a\) ) y luego se le libera. Demuestre que la particula oscila en un movimiento armónico simple con una frecuencia dada por \begin{equation*} \begin{aligned} f=\frac{1}{2 \pi}\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q Q}{m a^{3}}\right)^{1 / 2} . \end{aligned} \end{equation*} alt text

Datos:

Resolucion: alt text \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q d Q}{r^{2}} \cos \theta \\ &\lambda=\frac{d Q}{d l} \Rightarrow d Q=\lambda d l \\ &\quad \cos \theta=\frac{x}{r} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q \lambda d l}{r^{2}} \frac{x}{r} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q x \lambda d l}{r^{3}} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{g x \lambda a d \theta}{r^{3}} \\ &F=\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q x \lambda a d \theta}{r^{3}} \\ &F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q x \frac{\lambda a}{r^{3}} \int_{0}^{2 \pi} d \theta \\ &F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \frac{q \lambda a}{r^{3}} 2 \pi \\ &F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \frac{x a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \frac{Q}{2 \pi a} 2 \pi \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{x q Q}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \end{aligned} \end{equation*} Fuerza total que ejerce el anillo sobre un punto en el eje \(x\) \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{gathered} F=-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q Q}{a^{3}} x \\ K=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q Q}{a^{3}} \end{gathered} \end{aligned} \end{equation*} Frecuencia angular \begin{equation*} \begin{aligned} \omega^{2}=\frac{k}{m} \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \end{aligned} \end{equation*} Frecuencia de oscilación \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &f=\frac{\omega}{2 \pi} \Rightarrow f=\frac{\sqrt{\frac{k}{m}}}{2 \pi} \\ &f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q Q}{a^{3}}\,\frac{1}{m}} \\ &f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q Q}{m a^{3}}} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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