Una varilla delgada con la forma de un arco de circunferencia de radio $R$ lleva una carga uniforme por unidad de longitud $\lambda$. El arco subtiende un ángulo total $2 \theta_{0}$, simétrico en torno al eje $x$, como se muestra en la Figura. Determine el campo eléctrico $\vec{E}$ en el origen 0.

Pregunta:
Una varilla delgada con la forma de un arco de circunferencia de radio $R$ lleva una carga uniforme por unidad de longitud $\lambda$. El arco subtiende un ángulo total $2 \theta_{0}$, simétrico en torno al eje $x$, como se muestra en la Figura. Determine el campo eléctrico $\vec{E}$ en el origen 0. alt text

Datos:

Resolucion: alt text \[ \begin{aligned} &d E_x=d E \cos \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{R^2} \cos \theta\\ &\quad \lambda=\frac{d Q}{d l} \Rightarrow d Q=\lambda d \ell\\ &\quad d l=R d \theta\\ &\quad d Q=\lambda R d \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda R d \theta}{R^2} \cos \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \cos \theta d \theta\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \int_{-\theta_0}^{\theta_0} \cos \theta d \theta \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{R}[\sin \theta]_{-\theta_0}^{\theta_0}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{R}\left[\sin \theta_0-\sin \left(-\theta_0\right)\right]\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{\lambda}{R}\left[\sin \theta_0-\left(-\sin \theta_0\right)\right]\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda}{R}\left(2 \sin \theta_0\right)\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{R} 2 \sin \theta_0 \\ &E_x=\frac{1}{2 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda \sin \theta_0}{R} \end{aligned} \]

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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