Ejercicio Resuelto 007 (Capacitancia y Dieléctricos)

En la figura, la batería tiene una diferencia de potencial \(V=9.0 \mathrm{~V}, C_{2}=3.0 \mu \mathrm{F}, C_{4}=4.0 \mu \mathrm{F}\), y los capacitores están inicialmente descargados. Cuando el interruptor S se cierra, una carga total de \(12 \mu \mathrm{C}\) pasa por el punto \(a\) y una carga total de \(8.0 \mu \mathrm{C}\) pasa por el punto \(b .\) ¿Cuáles son (a) \(C_{1} \) y (b) \(C_{3}\) ? 


Solución: 

Datos: \( V = 9.0\mathrm{~V} \), \( \quad C_{2} = 3.0\mu\,\mathrm{F} \), \(\quad C_4 = 4.0\mu\,\mathrm{F} \), \(\quad q_{a} = 12\mu\,\mathrm{C} \), \( \quad q_{b} = 8\mu\,\mathrm{C} \), \( \color{red}{ \quad \mathrm{(a)~} C_{1} = ? } \), \( \color{red}{ \quad \mathrm{(b)~} C_{3}= ? } \)


\[ \begin{align*}C_{4} &= \frac{q{4}}{V_{4}} \qquad \Longrightarrow V_{4} = \frac{q_{4}}{C_{4}} = \frac{8\mu}{4\mu} \qquad \Longrightarrow V_{4} = 2\mathrm{~V}\end{align*} \]

\( C_{3}, C_{4} \) en paralelo, entonces:

\[ \begin{align*}V_{3} &= V_{4} = 2\mathrm{~V}\\C_{3} &= \frac{q_{3}}{V_{3}} = \frac{(12-8)\mu}{2}\\C_{3} &= 2\mu\mathrm{~C} \qquad \color{blue}{(a)}\\&\\C_{34} &= C_{3} + C_{4} = 2\mu + 4\mu = 6\mu\mathrm{~F}\end{align*} \]


\[ \begin{align*}V &= V_{1} + V_{2} + V_{34}\\V_{1} &= V-V_{2}-V_{34} = 9 - \frac{q_{2}}{C_{2}}-2\\V_{1} &= 9-\frac{12\mu}{3\mu}-2 \qquad \Longrightarrow V_{1} = 3\mathrm{~V}\\C_{1} &= \frac{q_{1}}{V_{1}} = \frac{12\mu}{3} \qquad \Longrightarrow C_{1} = 4\mu\mathrm{~F} \qquad \color{blue}{\mathrm{(b)}}\end{align*} \]










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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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