Ejercicio Resuelto 007 (Capacitancia y Dieléctricos)

En la figura, la batería tiene una diferencia de potencial \(V=9.0 \mathrm{~V}, C_{2}=3.0 \mu \mathrm{F}, C_{4}=4.0 \mu \mathrm{F}\), y los capacitores están inicialmente descargados. Cuando el interruptor S se cierra, una carga total de \(12 \mu \mathrm{C}\) pasa por el punto \(a\) y una carga total de \(8.0 \mu \mathrm{C}\) pasa por el punto \(b .\) ¿Cuáles son (a) \(C_{1} \) y (b) \(C_{3}\) ? 


Solución: 

Datos: \( V = 9.0\mathrm{~V} \), \( \quad C_{2} = 3.0\mu\,\mathrm{F} \), \(\quad C_4 = 4.0\mu\,\mathrm{F} \), \(\quad q_{a} = 12\mu\,\mathrm{C} \), \( \quad q_{b} = 8\mu\,\mathrm{C} \), \( \color{red}{ \quad \mathrm{(a)~} C_{1} = ? } \), \( \color{red}{ \quad \mathrm{(b)~} C_{3}= ? } \)


\[ \begin{align*}C_{4} &= \frac{q{4}}{V_{4}} \qquad \Longrightarrow V_{4} = \frac{q_{4}}{C_{4}} = \frac{8\mu}{4\mu} \qquad \Longrightarrow V_{4} = 2\mathrm{~V}\end{align*} \]

\( C_{3}, C_{4} \) en paralelo, entonces:

\[ \begin{align*}V_{3} &= V_{4} = 2\mathrm{~V}\\C_{3} &= \frac{q_{3}}{V_{3}} = \frac{(12-8)\mu}{2}\\C_{3} &= 2\mu\mathrm{~C} \qquad \color{blue}{(a)}\\&\\C_{34} &= C_{3} + C_{4} = 2\mu + 4\mu = 6\mu\mathrm{~F}\end{align*} \]


\[ \begin{align*}V &= V_{1} + V_{2} + V_{34}\\V_{1} &= V-V_{2}-V_{34} = 9 - \frac{q_{2}}{C_{2}}-2\\V_{1} &= 9-\frac{12\mu}{3\mu}-2 \qquad \Longrightarrow V_{1} = 3\mathrm{~V}\\C_{1} &= \frac{q_{1}}{V_{1}} = \frac{12\mu}{3} \qquad \Longrightarrow C_{1} = 4\mu\mathrm{~F} \qquad \color{blue}{\mathrm{(b)}}\end{align*} \]










Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ?

Imagen
Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
Read more »

La figura muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo \(\theta=30.0^{\circ} \mathrm{y}\) una distancia \(d=2.00 \mathrm{~cm}\). La partícula 2 tiene una carga \(q_{2}=8.00 \times 10^{-19} \mathrm{C}\); las partículas 3 y 4 tienen cargas \(q_{3}=q_{4}=-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\). (a) ¿Cuál es la distancia \(D\) entre el origen y la partícula 2 si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 debida a las otras partículas es cero? (b) Si las partículas 3 y 4 se acercaran al eje \(x\) pero mantuvieran su simetría con respecto a ese eje, ¿el valor requerido de \(D\) sería mayor, menor o igual que en el inciso (a)?

Imagen
Pregunta: La figura 4 muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo \(\theta=30.0^{\circ} \mathrm{y}\) una distancia \(d=2.00 \mathrm{~cm}\). La partícula 2 tiene una carga \(q_{2}=8.00 \times 10^{-19} \mathrm{C}\); las partículas 3 y 4 tienen cargas \(q_{3}=q_{4}=-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\). (a) ¿Cuál es la distancia \(D\) entre el origen y la partícula 2 si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 debida a las otras partículas es cero? (b) Si las partículas 3 y 4 se acercaran al eje \(x\) pero mantuvieran su simetría con respecto a ese eje, ¿el valor requerido de \(D\) sería mayor, menor o igual que en el inciso (a)? Datos: Resolucion: Se asume \(q_{1}>0\) \begin{equation*} \begin{aligned} \sum F_{x}=0:-F_{12}+F_{13} \cos (\theta)+F_{14} \cos (\theta)=0 \label{ldccejer003eq01} \end{aligned} \end{equation*} Pero: \(F_{12}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{1} q_{2}}{\left(r_{12}\right)^{2}}, \quad F_{13}=\frac{1}{4 ...
Read more »

Obtenga la fuerza que actúa sobre una carga puntual positiva \(q\) situada a una distancia \(x\) del extremo de una varilla de longitud \(L\), con una carga positiva \(Q\) distribuida uniformemente (ver figura )

Imagen
Pregunta: Obtenga la fuerza que actúa sobre una carga puntual positiva \(q\) situada a una distancia \(x\) del extremo de una varilla de longitud \(L\), con una carga positiva \(Q\) distribuida uniformemente (ver figura) Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} d F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q d Q}{r^{2}}\\ &\lambda=\frac{d Q}{d x_{2}} \Rightarrow d Q=\lambda d x_{2}\\ d F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q \lambda d x_{2}}{\left(L+x-x_{2}\right)^{2}}\\ F&=\int_{0}^{1} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q \lambda d x_{2}}{\left(L+x-x_{2}\right)^{2}}\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \lambda \int_{0}^{L} \frac{1}{\left(L+x-x_{2}\right)^{2}} d x_{2}\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \lambda\left[-\frac{1}{-L-x+x_{2}}\right]_{0}^{L}\\ F&=\frac{1}{4 \pi E_{0}} q \lambda\left[-\frac{1}{-L-x+L}+\left(\frac{1}{-L-x+0}\right)\right]\\ F&=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \lambda\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}\ri...
Read more »