Ley de Coulomb (Ejercicio Resuelto 009)

 Calcular la fuerza total que ejerce el disco cargado uniformemente de radio \(R\) sobre una carga positiva \(q\) que se encuentra en el punto \(P\). La distanacia entre el centro del disco y la carga es \( 2\,R \).

SOLUCIÓN.

Datos. \(\qquad R\), \(\qquad q\), \(\qquad F=\,?\)


\[ \begin{aligned} &dF_z=dF\cos\theta\\ &dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,dQ}{d^{2}}\;;\;\sigma=\frac{dQ}{dA}\Rightarrow\,dQ=\sigma dA=\sigma 2\pi rdr\\ &dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma 2\pi dr}{d^{2}}\;;\;\cos\theta=\frac{2R}{d}\\ &dFz=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma 2\pi rdr}{d^{2}}\frac{2R}{d}\;;\;d=\sqrt{r^{2}+\left(2R\right)^{2}}\\ &dF_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma2\pi rdr\,2R}{\left(r^{2}+4R^{2}\right)^{3/2}}\\ &F_z=\int_{0}^{R}\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma2\pi rdr\,2R}{\left(r^{2}+4R^{2}\right)^{3/2}}\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi\,2R\int_{0}^{R}\frac{r}{\left(r^{2}+4R^{2}\right)^{3/2}}dr\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi2R\left[-\frac{1}{\sqrt{r^{2}+4R^{2}}}\right]_{0}^{R}\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi2R\left(-\frac{1}{\sqrt{R^{2}+4R^{2}}}+\frac{1}{2R}\right)\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi2R\left(\frac{1}{2R}-\frac{1}{R\sqrt{5}}\right)\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi2R\left(\frac{1}{R}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma4\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\;;\;\sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}}\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,Q4\pi}{\pi R^{2}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\\ &\boxed{F_z=\frac{1}{\pi\varepsilon_o}\frac{qQ}{ R^{2}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)} \end{aligned} \]







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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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