Ley de Coulomb (Ejercicio Resuelto 009)

 Calcular la fuerza total que ejerce el disco cargado uniformemente de radio \(R\) sobre una carga positiva \(q\) que se encuentra en el punto \(P\). La distanacia entre el centro del disco y la carga es \( 2\,R \).

SOLUCIÓN.

Datos. \(\qquad R\), \(\qquad q\), \(\qquad F=\,?\)


\[ \begin{aligned} &dF_z=dF\cos\theta\\ &dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,dQ}{d^{2}}\;;\;\sigma=\frac{dQ}{dA}\Rightarrow\,dQ=\sigma dA=\sigma 2\pi rdr\\ &dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma 2\pi dr}{d^{2}}\;;\;\cos\theta=\frac{2R}{d}\\ &dFz=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma 2\pi rdr}{d^{2}}\frac{2R}{d}\;;\;d=\sqrt{r^{2}+\left(2R\right)^{2}}\\ &dF_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma2\pi rdr\,2R}{\left(r^{2}+4R^{2}\right)^{3/2}}\\ &F_z=\int_{0}^{R}\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma2\pi rdr\,2R}{\left(r^{2}+4R^{2}\right)^{3/2}}\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi\,2R\int_{0}^{R}\frac{r}{\left(r^{2}+4R^{2}\right)^{3/2}}dr\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi2R\left[-\frac{1}{\sqrt{r^{2}+4R^{2}}}\right]_{0}^{R}\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi2R\left(-\frac{1}{\sqrt{R^{2}+4R^{2}}}+\frac{1}{2R}\right)\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi2R\left(\frac{1}{2R}-\frac{1}{R\sqrt{5}}\right)\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi2R\left(\frac{1}{R}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma4\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\;;\;\sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}}\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,Q4\pi}{\pi R^{2}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\\ &\boxed{F_z=\frac{1}{\pi\varepsilon_o}\frac{qQ}{ R^{2}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)} \end{aligned} \]







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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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