Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 005)

 Los componentes del campo eléctrico para la figura son: \(E_x=b\sqrt{x}\), \(E_y=E_z=0\), siendo \(b=800\,\mathrm{N/C\times m^{1/2}}\). Hallar (a) el flujo eléctrico que pasa a través del cubo. (b) La carga dentro del cubo. Tómese \(a=0.10\,\mathrm{m}\)

SOLUCION.

Datos: \(\quad E_x=b\sqrt{x}\);\(\quad E_y=E_z=0\);\(\quad b=800\,\mathrm{\frac{N}{C\,m^{1/2}}}\);\(\quad a=0.10\,\mathrm{m}\);\(\quad \mathrm{(a)}\;\Phi=?\);\(\quad \mathrm{(b)}\;q=?\)

Por definición:

\[ \begin{aligned} \Phi=\int\vec{E}\cdot\,d\vec{A} \end{aligned} \]



\[ \begin{aligned} &\Phi=\int\vec{E}\cdot d\vec{A_1}+\int\vec{E}\cdot d\vec{A_2}\\&=\int800\sqrt{a}\,dA_1\cos(180)+\int 800\sqrt{2a}\,dA_{2}\cos(0)\\ &=-800\sqrt{a}\int dA_1+800\sqrt{2a}\int dA_2\\ &=-800\sqrt{a}\,a^{2}+800\sqrt{2a}\,a^{2}\\ &=800\sqrt{a}\,a^{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\\ &=800\,\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}\sqrt{\mathrm{m}}}\sqrt{0.1\,\mathrm{m}}\left(0.1\,\mathrm{m}\right)^{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\\ &\boxed{\Phi=1.048\,\dfrac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{C}}}\;\longrightarrow\;\text{(a)} \end{aligned} \]

Para encontrar la carga encerrada se usa la Ley de Gauss:

\[ \begin{aligned} &\Phi=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ &Q_{enc}=\Phi\varepsilon_o\\ &Q_{enc}=1.048\,\mathrm{\dfrac{N\,m^{2}}{C}}\times8.85\times10^{-12}\,\mathrm{\dfrac{C^{2}}{N\,m^{2}}}\\ &\boxed{Q_{enc}=9.27\times10^{-12}\,\mathrm{C}}\;\longrightarrow\;\text{(b)} \end{aligned} \]













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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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