Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 005)

 Los componentes del campo eléctrico para la figura son: \(E_x=b\sqrt{x}\), \(E_y=E_z=0\), siendo \(b=800\,\mathrm{N/C\times m^{1/2}}\). Hallar (a) el flujo eléctrico que pasa a través del cubo. (b) La carga dentro del cubo. Tómese \(a=0.10\,\mathrm{m}\)

SOLUCION.

Datos: \(\quad E_x=b\sqrt{x}\);\(\quad E_y=E_z=0\);\(\quad b=800\,\mathrm{\frac{N}{C\,m^{1/2}}}\);\(\quad a=0.10\,\mathrm{m}\);\(\quad \mathrm{(a)}\;\Phi=?\);\(\quad \mathrm{(b)}\;q=?\)

Por definición:

\[ \begin{aligned} \Phi=\int\vec{E}\cdot\,d\vec{A} \end{aligned} \]



\[ \begin{aligned} &\Phi=\int\vec{E}\cdot d\vec{A_1}+\int\vec{E}\cdot d\vec{A_2}\\&=\int800\sqrt{a}\,dA_1\cos(180)+\int 800\sqrt{2a}\,dA_{2}\cos(0)\\ &=-800\sqrt{a}\int dA_1+800\sqrt{2a}\int dA_2\\ &=-800\sqrt{a}\,a^{2}+800\sqrt{2a}\,a^{2}\\ &=800\sqrt{a}\,a^{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\\ &=800\,\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}\sqrt{\mathrm{m}}}\sqrt{0.1\,\mathrm{m}}\left(0.1\,\mathrm{m}\right)^{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\\ &\boxed{\Phi=1.048\,\dfrac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{C}}}\;\longrightarrow\;\text{(a)} \end{aligned} \]

Para encontrar la carga encerrada se usa la Ley de Gauss:

\[ \begin{aligned} &\Phi=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ &Q_{enc}=\Phi\varepsilon_o\\ &Q_{enc}=1.048\,\mathrm{\dfrac{N\,m^{2}}{C}}\times8.85\times10^{-12}\,\mathrm{\dfrac{C^{2}}{N\,m^{2}}}\\ &\boxed{Q_{enc}=9.27\times10^{-12}\,\mathrm{C}}\;\longrightarrow\;\text{(b)} \end{aligned} \]













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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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