Ley de Gauss (Ejercicio Resuelto 006)

 Una esfera aisladora sólida tiene una densidad volumétrica de carga \(\rho\). Sea \(\vec{r}\) el vector desde el centro de la esfera hasta un punto en general \(P\), dentro de la misma esfera.

    (a) Demuestre que \(\vec{E_p}=\rho\vec{r}/3\varepsilon_o\)

    (b) Se ha quitado una cavidad esférica de la esfera superior como en la figura. Halle el campo \(\vec{E}\) para puntos dentro de la cavidad, siendo \(\vec{a}\) el vector que conecta el centro de la esfera con el centro de la cavidad.


SOLUCION.

Datos: \(\qquad\rho\),\(\qquad\vec{r}\),\(\qquad\vec{a}\)


(a) Por la Ley de Gauss se tiene:

\[ \begin{aligned} \Phi&=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ \int\vec{E}\cdot d\vec{A}&=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\;;\;Q_{enc}=\rho\,\frac{4}{3}\pi r^{3}\\ E_p\left(4\pi r^{2}\right)&=\frac{\rho}{\varepsilon_o}\frac{4}{3}\pi r^{3}\\ E_p&=\dfrac{\rho\,r}{3\,\varepsilon_o}\;\Longrightarrow\; \boxed{\vec{E_p}=\dfrac{\rho\,\vec{r}}{3\,\varepsilon_o}} \end{aligned} \]

(b) De manera análoga se halla el campo para la cavidad:

\[ \begin{aligned} \vec{E_p\,'}=\dfrac{\rho\,\vec{r'}}{3\,\varepsilon_o} \end{aligned} \]

Por el principio de superposición:

\[ \begin{aligned} &\vec{E}_{p_{neto}}=\dfrac{\rho\,\vec{r}}{3\,\varepsilon_o}-\dfrac{\rho\,\vec{r'}}{3\,\varepsilon_o}\\ &\vec{E}_{p_{neto}}=\frac{\rho}{3\,\varepsilon_o}\left(\vec{r}-\vec{r'}\right)\\ &\vec{r'}+\vec{a}=\vec{r}\\ &\qquad\vec{a}=\vec{r}-\vec{r'}\\ &\boxed{\vec{E}_{p_{neto}}=\dfrac{\rho\,\vec{a}}{3\,\varepsilon_o}} \end{aligned} \]
















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