(a) ¿Qué cantidad igual de carga positiva y negativa han de ponerse en la Tierra y en la Luna para neutralizar su atracción gravitacional? ¿Es necesario conocer la distancia de la Luna para resolver el problema? Explique su contestación afirmativa o negativa. (b) ¿Cuántas toneladas métricas de hidrógeno se requerirían para generar la carga positiva que se calculó en la parte (a)? La masa molar del hidrógeno es \(1.008 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}\).

Pregunta:
(a) ¿Qué cantidad igual de carga positiva y negativa han de ponerse en la Tierra y en la Luna para neutralizar su atracción gravitacional? ¿Es necesario conocer la distancia de la Luna para resolver el problema? Explique su contestación afirmativa o negativa. (b) ¿Cuántas toneladas métricas de hidrógeno se requerirían para generar la carga positiva que se calculó en la parte (a)? La masa molar del hidrógeno es \(1.008 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}\).

Datos:

Resolucion:

(a) La fuerza de atracción gravitacional entre la Luna y la Tierra es \begin{equation*} \begin{aligned} F_{\mathrm{G}}=\frac{G M_{\mathrm{E}} M_{\mathrm{M}}}{R^{2}} \end{aligned} \end{equation*} donde \(R\) es la distancia entre ellos. Si tanto la Tierra como la Luna reciben una carga \(q\), entonces la repulsión electrostática sería \begin{equation*} \begin{aligned} F_{\mathrm{E}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{R^{2}} \end{aligned} \end{equation*} Igualando estas dos expresiones entre sí, \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}=G M_{\mathrm{E}} M_{\mathrm{M}} \end{aligned} \end{equation*} que tiene solución \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} q&=\sqrt{4\pi \epsilon_{0}G M_{\mathrm{E}}M_{\mathrm{M}}}, \\ &=\sqrt{4 \pi\left(8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{Nm}^{2}\right)\left(6,67 \times 10^ {-11} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{kg}^{2}\right)\left(5,98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\right)\left(7,36 \times 10^{22} \mathrm{~kg}\right)} \\ &=5.71 \times 10^{13} \mathrm{C} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}
(b) necesitamos \begin{equation*} \begin{aligned} n = \left(5. 71 \times 10^{13} \mathrm{C}\right) /\left(1,60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\right)=3,57 \times 10^{32} \end{aligned} \end{equation*} protones en cada cuerpo. La masa de protones necesaria es entonces \begin{equation*} \begin{aligned} m_{p^{+}} &= \left(3,57 \times 10^{32}\right)\left(1,67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)=5,97 \times 10^{5} \mathrm{~kg} .\\ m_{p^{+}} &= 5.97 \times 10^{2} \mathrm{~Ton} . \end{aligned} \end{equation*} Ignorando la masa del electrón (¿por qué no?) podemos suponer que el hidrógeno son todos protones, por lo que necesitamos esa cantidad de hidrógeno.

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Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef
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