(a) ¿Qué cantidad igual de carga positiva y negativa han de ponerse en la Tierra y en la Luna para neutralizar su atracción gravitacional? ¿Es necesario conocer la distancia de la Luna para resolver el problema? Explique su contestación afirmativa o negativa. (b) ¿Cuántas toneladas métricas de hidrógeno se requerirían para generar la carga positiva que se calculó en la parte (a)? La masa molar del hidrógeno es \(1.008 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}\).

Pregunta:
(a) ¿Qué cantidad igual de carga positiva y negativa han de ponerse en la Tierra y en la Luna para neutralizar su atracción gravitacional? ¿Es necesario conocer la distancia de la Luna para resolver el problema? Explique su contestación afirmativa o negativa. (b) ¿Cuántas toneladas métricas de hidrógeno se requerirían para generar la carga positiva que se calculó en la parte (a)? La masa molar del hidrógeno es \(1.008 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}\).

Datos:

Resolucion:

(a) La fuerza de atracción gravitacional entre la Luna y la Tierra es \begin{equation*} \begin{aligned} F_{\mathrm{G}}=\frac{G M_{\mathrm{E}} M_{\mathrm{M}}}{R^{2}} \end{aligned} \end{equation*} donde \(R\) es la distancia entre ellos. Si tanto la Tierra como la Luna reciben una carga \(q\), entonces la repulsión electrostática sería \begin{equation*} \begin{aligned} F_{\mathrm{E}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{R^{2}} \end{aligned} \end{equation*} Igualando estas dos expresiones entre sí, \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}=G M_{\mathrm{E}} M_{\mathrm{M}} \end{aligned} \end{equation*} que tiene solución \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} q&=\sqrt{4\pi \epsilon_{0}G M_{\mathrm{E}}M_{\mathrm{M}}}, \\ &=\sqrt{4 \pi\left(8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{Nm}^{2}\right)\left(6,67 \times 10^ {-11} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{kg}^{2}\right)\left(5,98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\right)\left(7,36 \times 10^{22} \mathrm{~kg}\right)} \\ &=5.71 \times 10^{13} \mathrm{C} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}
(b) necesitamos \begin{equation*} \begin{aligned} n = \left(5. 71 \times 10^{13} \mathrm{C}\right) /\left(1,60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\right)=3,57 \times 10^{32} \end{aligned} \end{equation*} protones en cada cuerpo. La masa de protones necesaria es entonces \begin{equation*} \begin{aligned} m_{p^{+}} &= \left(3,57 \times 10^{32}\right)\left(1,67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)=5,97 \times 10^{5} \mathrm{~kg} .\\ m_{p^{+}} &= 5.97 \times 10^{2} \mathrm{~Ton} . \end{aligned} \end{equation*} Ignorando la masa del electrón (¿por qué no?) podemos suponer que el hidrógeno son todos protones, por lo que necesitamos esa cantidad de hidrógeno.

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La figura muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo \(\theta=30.0^{\circ} \mathrm{y}\) una distancia \(d=2.00 \mathrm{~cm}\). La partícula 2 tiene una carga \(q_{2}=8.00 \times 10^{-19} \mathrm{C}\); las partículas 3 y 4 tienen cargas \(q_{3}=q_{4}=-1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\). (a) ¿Cuál es la distancia \(D\) entre el origen y la partícula 2 si la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1 debida a las otras partículas es cero? (b) Si las partículas 3 y 4 se acercaran al eje \(x\) pero mantuvieran su simetría con respecto a ese eje, ¿el valor requerido de \(D\) sería mayor, menor o igual que en el inciso (a)?

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Pregunta: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud \(2 a\) tienen cargas iguales \(+Q\) uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje \(x\), con sus centros separados por una distancia \(b>2 a\) (ver figura). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por \begin{equation*} \begin{aligned} F=\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{4 a^{2}}\right) \ln \left(\frac{b^{2}}{b^{2}-4 a^{2}}\right) \end{aligned} \end{equation*} Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{d Q_{1} d Q_{2}}{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \\ &\lambda_{1}=\frac{d Q_{1}}{d x_{1}} \Rightarrow d Q_{1}=\lambda_{1} d x_{1} \\ &\lambda_{2}=\frac{d Q_{2}}{d x_{2}} \Rightarrow d Q_{2}=\lambda_{2} d x_{2} \\ &d F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda_{1} d x_{1} \lambda_{2} d x_{2}}{\left(x_{2}-x...
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