(a) ¿Qué cantidad igual de carga positiva y negativa han de ponerse en la Tierra y en la Luna para neutralizar su atracción gravitacional? ¿Es necesario conocer la distancia de la Luna para resolver el problema? Explique su contestación afirmativa o negativa. (b) ¿Cuántas toneladas métricas de hidrógeno se requerirían para generar la carga positiva que se calculó en la parte (a)? La masa molar del hidrógeno es \(1.008 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}\).

Pregunta:
(a) ¿Qué cantidad igual de carga positiva y negativa han de ponerse en la Tierra y en la Luna para neutralizar su atracción gravitacional? ¿Es necesario conocer la distancia de la Luna para resolver el problema? Explique su contestación afirmativa o negativa. (b) ¿Cuántas toneladas métricas de hidrógeno se requerirían para generar la carga positiva que se calculó en la parte (a)? La masa molar del hidrógeno es \(1.008 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}\).

Datos:

Resolucion:

(a) La fuerza de atracción gravitacional entre la Luna y la Tierra es \begin{equation*} \begin{aligned} F_{\mathrm{G}}=\frac{G M_{\mathrm{E}} M_{\mathrm{M}}}{R^{2}} \end{aligned} \end{equation*} donde \(R\) es la distancia entre ellos. Si tanto la Tierra como la Luna reciben una carga \(q\), entonces la repulsión electrostática sería \begin{equation*} \begin{aligned} F_{\mathrm{E}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{R^{2}} \end{aligned} \end{equation*} Igualando estas dos expresiones entre sí, \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}=G M_{\mathrm{E}} M_{\mathrm{M}} \end{aligned} \end{equation*} que tiene solución \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} q&=\sqrt{4\pi \epsilon_{0}G M_{\mathrm{E}}M_{\mathrm{M}}}, \\ &=\sqrt{4 \pi\left(8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{Nm}^{2}\right)\left(6,67 \times 10^ {-11} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{kg}^{2}\right)\left(5,98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\right)\left(7,36 \times 10^{22} \mathrm{~kg}\right)} \\ &=5.71 \times 10^{13} \mathrm{C} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}
(b) necesitamos \begin{equation*} \begin{aligned} n = \left(5. 71 \times 10^{13} \mathrm{C}\right) /\left(1,60 \times 10^{-19} \mathrm{C}\right)=3,57 \times 10^{32} \end{aligned} \end{equation*} protones en cada cuerpo. La masa de protones necesaria es entonces \begin{equation*} \begin{aligned} m_{p^{+}} &= \left(3,57 \times 10^{32}\right)\left(1,67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)=5,97 \times 10^{5} \mathrm{~kg} .\\ m_{p^{+}} &= 5.97 \times 10^{2} \mathrm{~Ton} . \end{aligned} \end{equation*} Ignorando la masa del electrón (¿por qué no?) podemos suponer que el hidrógeno son todos protones, por lo que necesitamos esa cantidad de hidrógeno.

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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