Se coloca una carga positiva $q$ en el centro de un anillo circular de radio $R$. El anillo lleva una carga negativa distribuida de manera uniforme de magnitud total $-Q$. (a) Si la carga $q$ se desplaza del centro una pequeña distancia $x$, como se indica en la Figura , demuestre que describirá un movimiento armónico simple cuando se libere. (b) Si su masa es m, ¿cuál es su periodo?

Pregunta:
Se coloca una carga positiva $q$ en el centro de un anillo circular de radio $R$. El anillo lleva una carga negativa distribuida de manera uniforme de magnitud total $-Q$. (a) Si la carga $q$ se desplaza del centro una pequeña distancia $x$, como se indica en la Figura , demuestre que describirá un movimiento armónico simple cuando se libere. (b) Si su masa es m, ¿cuál es su periodo? imagen pregunta

Datos:

Resolucion: imagen respuesta \[ \begin{aligned} d E_x=& d E\cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ &\lambda=\frac{d Q}{d l} \Rightarrow d Q=\lambda d l \\ & d l=R d \varphi \\ & d Q=\lambda R d \varphi \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+R^2\right)^{1 / 2}} \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda R d \varphi}{\left(x^2+R^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+R^2\right)^{1 / 2}} \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda R x d \varphi}{\left(x^2+R^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda R x}{\left(x^2+R^2\right)^{3 / 2}} \int_0^{2 \pi} \varphi \\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda R x}{\left(x^2+R^2\right)^{3 / 2}} 2 \pi \\ &\qquad \lambda=\frac{Q}{2 \pi R} \\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{2 \pi R} \frac{R x 2 \pi}{\left(x^2+R^2\right)^{3 / 2}} \\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q x}{\left(x^2+R^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} \] Del enunciado $x \ll R$ $$ \begin{aligned} &\frac{x}{\left(x^2+R^2\right)^{3 / 2}}=\frac{x}{\left[R^2\left(\frac{x^2}{R^2}+1\right)\right]^{3 / 2}} \\ &=\frac{x}{\left(R^2\right)^{3 / 2}(0+1)^{3 / 2}} \\ &=\frac{x}{R^3} \\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{R^3} x \\ &F=q E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{R^3} x \end{aligned} $$ Tomando en cuenta la dirección $$ \begin{aligned} \\ &F=-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{R^3} x=-K x \rightarrow \text{M.A.S.} \\ \\ &\Rightarrow K=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{R^3} \end{aligned} $$ Frecuencia $$ f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $$ $$ \begin{aligned} &f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{R^3}}{m}} \\ &f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{R^3 m}} \end{aligned} $$ Periodo $$ \begin{aligned} &T=\frac{1}{f}=\frac{1}{\frac{1}{2 \pi }\sqrt{\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{R^3 m}}} \\ &T=2 \pi \sqrt{\frac{4 \pi \epsilon_0 R^3 m}{q Q}} \end{aligned} $$

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