Una línea muy delgada de carga yace a lo largo del eje $x$, desde $x=-\infty$ hasta $x=+\infty$. Otra línea de carga similar yace a lo largo del eje y desde $y=-\infty$ hasta $y=+\infty$. Ambas líneas tienen una carga uniforme por unidad de longitud $\lambda$. Determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico resultante (con respecto al eje $x$ ) en un punto $(x, y)$ del primer cuadrante del plano $x y$.

Pregunta:
Una línea muy delgada de carga yace a lo largo del eje $x$, desde $x=-\infty$ hasta $x=+\infty$. Otra línea de carga similar yace a lo largo del eje y desde $y=-\infty$ hasta $y=+\infty$. Ambas líneas tienen una carga uniforme por unidad de longitud $\lambda$. Determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico resultante (con respecto al eje $x$ ) en un punto $(x, y)$ del primer cuadrante del plano $x y$.

Datos:

Resolucion: alt text Campo elećtrico debido a una diferencial de carga $$ \begin{aligned} &d E_y=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ &\quad \lambda=\frac{d Q}{d x} \Rightarrow d Q=\lambda d x \\ &d E_y=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{\lambda d x}{r^2} \cos \theta \\ &\quad \tan \theta=\frac{x}{y} \\ &\quad x=y \tan\theta \\ &\quad\frac{d x}{d \theta}=y\left(\tan ^2 \theta+1\right) \\ &\quad \frac{d x}{d\theta}=y\left(\frac{\sin^2 \theta+\cos ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}\right) \\ &\quad \frac{d x}{d \theta}=y \frac{1}{\cos ^2 \theta}=y \frac{r^2}{y^2} \\ &d E_y=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \lambda y \frac{r^2}{y^2} d \theta \frac{\cos \theta}{r^2} \end{aligned} $$ \[ \begin{aligned} &dE_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{\lambda}{y} \cos \theta d \theta \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_o} \frac{\lambda}{y} \int_{\theta}^{\beta} \cos \theta d \theta \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{y}\left[\sin \theta\right]_{-\theta}^{\beta} \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{y}\left(\sin \beta-\sin \left(-\theta\right)\right) \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{y}\left(\sin \frac{\pi}{2}-\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{y}(1+1) \\ &E_y=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 \lambda}{y} \end{aligned} \] De manera análoga $$ E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 \lambda}{x} $$ Magnitud $$ \begin{aligned} &E_p=\sqrt{\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 \lambda}{y}\right)^2+\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 \lambda}{x}\right)^2} \\ &E_p=\sqrt{\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} 2 \lambda\right)^2\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\right)} \\ &E_p=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 \lambda}{x y} \sqrt{x^2+y^2} \end{aligned} $$ Dirección $$ \begin{gathered} \tan \alpha=\frac{E_y}{E_x}=\frac{\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 \lambda}{1}}{\frac{1}{4 \varepsilon_0} \frac{2 \lambda}{x}} \\ \alpha=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \end{gathered} $$

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Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$
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Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1...
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