FÍSICA ELECTROSTÁTICA

 Un electrón \((e^{-})\) de masa \(m\) gira en torno del núcleo de un átomo de hidrógeno con un radio \(r\). Determinar la velocidad angular \((\omega)\) del movimiento. SOLUCION. Datos: \(\qquad e^{-}\), \(\qquad m\), \(\qquad r\), \(\qquad w=\,?\) \[ \begin{aligned} &F_c=ma_c\\ &F_c=F_e\qquad\wedge\qquad a_c=w^{2}r\\ &mw^{2}r=F_e\\ &mw^{2}r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{e^{2}}{r^{2}}\\ &w^{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{e^{2}}{r^{2}}\frac{1}{mr}\\ &\sqrt{w^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{e^{2}}{r^{2}}\frac{1}{mr}}\\ &\boxed{w=\frac{e}{r}\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{1}{mr}}} \end{aligned} \]

 Dos esferas idénticas de corcho de masa \(m\) y carga \(q\), están suspendidas del mismo punto de dos cuerdas de longitud \(L\). Hallar el ángulo \(\theta\) que las cuerdas forman con la vertical una vez logrado el equilibrio. SOLUCIÓN. Datos: \(\qquad m\), \(\qquad q\), \(\qquad L\), \(\qquad \theta=\,?\) \[ \begin{aligned} &\sum F_H=0:\qquad T\,\sin\theta=F_R\qquad\mathrm{(1)}\\ &\sum F_v=0:\qquad T\,\cos\theta=mg\qquad\mathrm{(2)}\\ \end{aligned} \] Dividiendo \(\mathrm(1)\) y \(\mathrm{(2)}\): \[ \begin{aligned} &\frac{T\,\sin\theta}{T\,\cos\theta}=\frac{F_R}{m\,g}\,\,\Longrightarrow\,\,\tan\theta=\frac{F_R}{mg}\qquad\mathrm{(3)}\\ &\sin\theta=\frac{r}{2L}\,\,\Longrightarrow\,\, r=2L\sin\theta\\ &F_R=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{r^{2}} \end{aligned} \] Reemplazando en \(\mathrm{(3)}\): \[ \begin{aligned} &\tan\theta=\frac{1}{mg}\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{4L^{2}\sin^{2}\theta}\\ &\boxed{\tan\theta\,\sin^{2}\theta=\frac{1}{4\pi\var

 Una carga \(q=2\times10^{-5}\,\mathrm{C}\) es dividida en dos cargas puntiformes de valores \(q_1\) y \(q-q_1\) colocados a una distancia \(d=1\,\mathrm{m}\) una de la otra en el vacío. Se pide hallar las dos fracciones de la carga \(q\) que, en la situación especificada; dan una fuerza de repulsión máxima y el valor de esta fuerza. SOLUCION. Datos: \(\qquad q=2\times10^{-5}\,\mathrm{C}\), \(\qquad d=1\,\mathrm{m}\), \(\qquad F_{max}=\,?\) \[ \begin{aligned} &F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q_1(q-q_1)}{d^{2}}\;\Longrightarrow\;\frac{dF}{dq_1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{1}{d^{2}}(q-2q_1)=0\\ &\boxed{q_1=\frac{q}{2}}\\ &F_{max}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q}{2}\frac{(q-\frac{q}{2})}{d^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q}{2}\frac{(q\frac{1}{2})}{d^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q^{2}}{4}\frac{1}{d^{2}}\\ &F_{max}=9\times10^{9}\frac{\left(2\times10^{-5}\right)^{2}}{4}\frac{1}{1^{2}}\\ &\boxed{F_{max}=0.9\,\mathrm{N}} \end{aligned} \] Por tanto,

 Dos esferas conductoras idénticas, con cargas de signo opuesto, se atraen con una fuerza de \(0.108\,\mathrm{N}\) al estar separados \(0.5\,\mathrm{m}\). Las esferas se interconectan con un alambre conductor y a continuación se desconectan. En esta nueva situación se repelen con una fuerza de \(0.036\,\mathrm{N}\). ¿Cuáles eran las cargas iniciales en las esferas? SOLUCIÓN. Datos: \(\qquad q_1=\,?\), \(\qquad q_2=\,?\), \(\qquad F_i=0.108\,\mathrm{N}\), \(\qquad r=0.5\,\mathrm{m}\), \(\qquad F_f=0.036\,\mathrm{N}\) \[ \begin{aligned} &F_i=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q_1\,q_2}{r^{2}}=0.108\,\mathrm{N}\qquad\qquad\qquad &&F_f=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{q_1+q_2}{2}\right)^{2}}{r^{2}}=0.036\,\mathrm{N}\\ &q_1\,q_2=-3\times10^{-12}\,\mathrm{C^{2}}\longrightarrow\mathrm{(I)} &&q_1+q_2=2\times10^{-6}\,\mathrm{C^{2}}\longrightarrow\mathrm{(II)} \end{aligned}\] Resolviendo el sistema de ecuaciones \(\mathrm{(I)}\) y \(\ma

 Dos partículas de cargas \(q_1\) y \(q_2\) (positivas) están separadas por cierta distancia \(d\). Suponga que se transfiere cierta cantidad de carga \(q\) para \(q_1\) y \(q_2\) de tal modo que las cargas resultantes son \((q_1-q)\) y \((q_2+q)\). ¿Para qué valor de \(q\), tendrá un valor máximo la fuerza de repulsión entre las partículas? SOLUCIÓN: Datos . \(\qquad q_1\), \(\qquad q_2\), \(\qquad d\), \(\qquad F_{max}\), \(\qquad q=?\) \[ \begin{aligned} &F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{\left(q_1-q\right)\left(q_2+q\right)}{d^{2}}\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{dF}{dq}=-q_2+q_1-2q=0\\ &\boxed{q=\frac{q_1-q_2}{2}} \end{aligned} \] La fuerza de repulsión entre las partículas tendrá un valor máximo para \(q=\displaystyle\frac{q_1-q_2}{2}\)

 Disponemos de tres bolitas esféricas conductoras idénticas \(A\), \(B\) y \(C\) de radio tan pequeño que se pueden considerar puntuales. Las dos primeras esferillas están fijas a una distancia \(l=100\,\mathrm{cm}\) y tienen una carga eléctrica negativa, siendo la de \(A\) cinco veces mayor que la de \(B\). La esferilla \(C\) se encuentra inicialmente en estado neutro y se puede mover libremente a lo largo de la recta \(AB\) horizontal. (a) Cogemos la bolita \(C\) con unas pinzas aislantes y la ponemos en contacto con la \(A\), dejándola luego en libertad. Determinar la posición en que dicha bolita \(C\) quedará en equilibrio. (b) Volvemos a coger la bolita \(C\) con las pinzas, poniéndola en contacto con la \(B\) y dejándola posteriormente libre. Determinar la nueva posición de equilibrio. SOLUCIÓN. DATOS: \(\qquad q_A\), \(\qquad q_B\), \(\qquad q_C\), \(\qquad q_A=5\, q_B\), \(\qquad l=100\,\mathrm{cm}\) Cuando \(q_A\) y \(q_C\) se ponen en contacto y \(q_C\) se deja libre, se tien