FÍSICA ELECTROSTÁTICA

 Una esfera aisladora sólida tiene una densidad volumétrica de carga \(\rho\). Sea \(\vec{r}\) el vector desde el centro de la esfera hasta un punto en general \(P\), dentro de la misma esfera.     (a)  Demuestre que \(\vec{E_p}=\rho\vec{r}/3\varepsilon_o\)     (b)  Se ha quitado una cavidad esférica de la esfera superior como en la figura. Halle el campo \(\vec{E}\) para puntos dentro de la cavidad, siendo \(\vec{a}\) el vector que conecta el centro de la esfera con el centro de la cavidad. SOLUCION. Datos: \(\qquad\rho\),\(\qquad\vec{r}\),\(\qquad\vec{a}\) (a) Por la Ley de Gauss se tiene: \[ \begin{aligned} \Phi&=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ \int\vec{E}\cdot d\vec{A}&=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\;;\;Q_{enc}=\rho\,\frac{4}{3}\pi r^{3}\\ E_p\left(4\pi r^{2}\right)&=\frac{\rho}{\varepsilon_o}\frac{4}{3}\pi r^{3}\\ E_p&=\dfrac{\rho\,r}{3\,\varepsilon_o}\;\Longrightarrow\; \boxed{\vec{E_p}=\dfrac{\rho\,\vec{r}}{3\,\varepsilon_o}} \end{aligned} \] (b) De manera anál

 Los componentes del campo eléctrico para la figura son: \(E_x=b\sqrt{x}\), \(E_y=E_z=0\), siendo \(b=800\,\mathrm{N/C\times m^{1/2}}\). Hallar (a) el flujo eléctrico que pasa a través del cubo. (b) La carga dentro del cubo. Tómese \(a=0.10\,\mathrm{m}\) SOLUCION. Datos: \(\quad E_x=b\sqrt{x}\);\(\quad E_y=E_z=0\);\(\quad b=800\,\mathrm{\frac{N}{C\,m^{1/2}}}\);\(\quad a=0.10\,\mathrm{m}\);\(\quad \mathrm{(a)}\;\Phi=?\);\(\quad \mathrm{(b)}\;q=?\) Por definición: \[ \begin{aligned} \Phi=\int\vec{E}\cdot\,d\vec{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &\Phi=\int\vec{E}\cdot d\vec{A_1}+\int\vec{E}\cdot d\vec{A_2}\\&=\int800\sqrt{a}\,dA_1\cos(180)+\int 800\sqrt{2a}\,dA_{2}\cos(0)\\ &=-800\sqrt{a}\int dA_1+800\sqrt{2a}\int dA_2\\ &=-800\sqrt{a}\,a^{2}+800\sqrt{2a}\,a^{2}\\ &=800\sqrt{a}\,a^{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\\ &=800\,\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}\sqrt{\mathrm{m}}}\sqrt{0.1\,\mathrm{m}}\left(0.1\,\mathrm{m}\right)^{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\\ &\boxed{\Phi=1.

 Ocho cargas iguales de \(5\times10^{-4}\,\mathrm{C}\) se encuentran situados en los vértices de un cubo regular de \(1\,\mathrm{m}\) de lado. En el centro del cubo se encuentra situada una novena carga de valor \(-7\times10^{-3}\,\mathrm{C}\). Si consideramos una superficie esférica con centro coincidente con el del cubo y radio \(R\), calcular el flujo del campo eléctrico creado a través de dicha superficie, en los siguientes supuestos:      (a) El radio de la esfera tiene un valor \(R_1=0.5\,\mathrm{m}\)      (b) El radio de la esfera vale \(R_2=2\,\mathrm{m}\) SOLUCION. Datos: \(\quad q_1=5\times10^{-4}\,\mathrm{C}\),\(\quad l=1\,\mathrm{m}\),\(\quad q_2=-7\times10^{-3}\,\mathrm{C}\), \(\quad\text{(a)}\;\Phi_1=?\),\(\quad\text{(b)}\;\Phi_2=?\)      (a) Para \(R=R_1=0.5\,\mathrm{m}\) \[ \begin{aligned} \Phi_1=\dfrac{q_2}{\varepsilon_o}=\dfrac{-7\times10^{-3}\,\mathrm{C}}{8.85\times10^{-12}\dfrac{\mathrm{C}^{2}}{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Phi_1=7.9\t

 Calcular el flujo de campo eléctrico que atraviesa un hemisferio de radio \(R\), situado en el interior de un campo \(\vec{E}\) uniforme y paralelo al eje del hemisferio. SOLUCIÓN. Datos: \(\qquad R\),\(\qquad\vec{E}\),\(\qquad\Phi=\,?\) El flujo está definido por: \[ \begin{aligned} \Phi&=\int\vec{E}\,d\vec{A}\\ &=\int E\,dA\cos\theta \end{aligned} \] Pero del gráfico se sabe que: \[ \begin{aligned} dA=R\,\sin\theta\,d\phi\,R\,d\theta \end{aligned} \] Entonces: \[ \begin{aligned} &\Phi=\int\int E\left(R^{2}\sin\theta\,d\phi\,d\theta\right)\cos\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\phi\,d\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\,2\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta\\ &\Phi=E\,R^{2}\,2\pi\,\frac{1}{2}\\ &\boxed{\Phi=E\,\pi\,R^{2}} \end{aligned} \]

 Una carga eléctrica puntual de \(2\,\mathrm{\mu C}\) se encuentra situada en el centro geométrico de un cubo de \(2\,\mathrm{m}\) de arista. El medio es el vacío. Calcular: (a) La intensidad de campo en el centro de una de las caras. (b) El flujo eléctrico a través de la superficie cúbica. (c) El flujo eléctrico a través de una de las caras. SOLUCION. Datos:  \(\qquad q=2\,\mu C\),\(\qquad a=2\,\mathrm{m}\) (a) Intensidad de campo en el centro de una de las caras. \[ \begin{aligned} E_p&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q}{r^{2}}\\ &=9\times10^{9}\frac{\mathrm{N\,m^{2}}}{\mathrm{C^{2}}}\times\frac{2\times10^{-6}\,\mathrm{C}}{1\,\mathrm{m^{2}}}\\ &=1800=\boxed{1.8\times10^{4}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}} \end{aligned} \] (b) Nos imaginamos al cubo como una superficie gaussiana que encierra a la carga puntual. \[ \begin{aligned} \varepsilon_o&\Phi=Q_{enc}\\ &\Phi=\frac{q}{\varepsilon_o}\\ &\Phi=\frac{2\times10^{-6}\,\mathrm{C}}{8.85\times10^{-12}\,\displaystyle\

 Una esfera metálica conductora tiene una densidad superficial de carga igual a \(8.85\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{2}}\). Calcular el radio de dicha esfera, sabiendo que la intensidad del campo eléctrico creado por ella en un punto situado exteriormente a \(2\,\mathrm{m}\) de su superficie es \(3600\,\mathrm{N/C}\). SOLUCIÓN. Datos: \(\qquad \sigma=8.85\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{2}}\),\(\qquad E=3600\,\mathrm{N/C}\),\(\qquad R=\,?\) Por la Ley de Gauss: \[ \begin{aligned} \varepsilon_o\int\vec{E}\,d\vec{A}=Q_{enc}\\ \int E\,dA\cos(0)=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ E\int dA=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_o}\\ E\left(4\pi r^{2}\right)=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_o} \end{aligned} \] Pero: \[ \begin{aligned} &r=R+2\,\mathrm{m}\\ &\sigma=\frac{Q_{enc}}{A_{esf}}\;\;\Longrightarrow\;\; Q_{enc}=\sigma A_{esf}=\sigma\left(4\pi R^{2}\right) \end{aligned} \] Reemplazando se tiene: \[ \begin{aligned} E\,4\pi\left(R+2\mathrm{m}\right)^{2}&=\frac{\sigma 4\pi R^{2}}{\varepsilon_o}\\ \left(\fr

 Calcular la fuerza total que ejerce la varilla con carga uniforme \(+Q\) de radio \(R\) sobre una carga \(q\) negativa que se encuentra en el punto \(P\). SOLUCIÓN. Datos: \(\qquad +Q\), \(\qquad R\), \(\qquad q\), \(\qquad F=\,?\) \[ \begin{aligned} &dF_x=dF\sin\theta\\ &dF_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{qdQ}{R^{2}}\sin\theta\\ &dF_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\lambda Rd\theta}{R^{2}}\sin\theta\\ &F_x=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\lambda Rd\theta}{R^{2}}\sin\theta\,d\theta\\ &F_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\\ &F_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,\lambda}{R}\left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi}\\ &F_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,\lambda}{R}[2]\;;\;\lambda=\frac{Q}{\pi R}\\ &\boxed{F_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{2qQ}{\pi R^{2}}}\\ &\text{Tiene una dirección en el eje \(x\) negativo.} \end{aligned} \]

 Calcular la fuerza total que ejerce el disco cargado uniformemente de radio \(R\) sobre una carga positiva \(q\) que se encuentra en el punto \(P\). La distanacia entre el centro del disco y la carga es \( 2\,R \). SOLUCIÓN. Datos. \(\qquad R\), \(\qquad q\), \(\qquad F=\,?\) \[ \begin{aligned} &dF_z=dF\cos\theta\\ &dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\,dQ}{d^{2}}\;;\;\sigma=\frac{dQ}{dA}\Rightarrow\,dQ=\sigma dA=\sigma 2\pi rdr\\ &dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma 2\pi dr}{d^{2}}\;;\;\cos\theta=\frac{2R}{d}\\ &dFz=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma 2\pi rdr}{d^{2}}\frac{2R}{d}\;;\;d=\sqrt{r^{2}+\left(2R\right)^{2}}\\ &dF_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma2\pi rdr\,2R}{\left(r^{2}+4R^{2}\right)^{3/2}}\\ &F_z=\int_{0}^{R}\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\frac{q\sigma2\pi rdr\,2R}{\left(r^{2}+4R^{2}\right)^{3/2}}\\ &F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}q\sigma2\pi\,2R\int_{0}^{R}\frac{r}{\left(r^{2}+4R^{2}\right)^{3/2}}dr\\ &F_z=\frac{1}{4\pi