FÍSICA ELECTROSTÁTICA

Pregunta: (a) Demuestre que para puntos a lo largo del eje de un dipolo (sobre la misma recta que contiene las cargas $+Q $ y $-Q)$, el campo eléctrico tiene una magnitud $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 p}{r^{3}}$ para $r \gg l$ (figura$)$, donde $r$ es la distancia del punto donde se evalúa el campo al centro del dipolo. (b) ¿En qué dirección apunta $\vec{E}$ ? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &E=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{1}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right] \\ &E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{r^2+2 r \frac{l}{2}+\frac{l^2}{4}-r^2+2 r \frac{l}{2}-\frac{l^2}{4}}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2}\right]\\ &E= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q \frac{2 r l}{\left[\left(r-\frac{l}{2}\right)\lef

Pregunta: Se sitúa un dipolo eléctrico de momento dipolar $p$ y momento de inercia $I$, en un campo eléctrico uniforme $\vec{E}$. (a) Si se hace girar el dipolo un ángulo $\theta$, como se muestra en la Figura, y se libera, ¿en qué condiciones oscilará con movimiento armónico simple? (b) ¿Cuál será su frecuencia de oscilación? Datos: Resolucion: Supongamos que tenemos un dipolo eléctrico con momento dipolar $\vec{p}$ y momento de inercia $I$, colocado en un campo eléctrico de $\vec{E}$, necesitamos la condición donde el dipolo oscilará en armónico simple oscilador. Un campo eléctrico produce un torque en un dipolo, ese torque le dará al dipolo una aceleración angular, en la dirección opuesta a $\theta$, y está dado por: $$ \tau=-p E \sin (\theta) $$ y también el par puede ser representado por el acelerador angular $\alpha$ y el momento de inercia $I$ como: $$ \tau=I \alpha $$ de las ecuaciones anteriores, obtenemos: $$ -p E \sin (\theta)=I \alpha $$ pero $\alpha=\frac{d^2

Pregunta: La molécula $\mathrm{HCl}$ tiene un momento dipolar cercano a $3.4 \times 10^{-30} \mathrm{C} \cdot \mathrm{m}$. Los dos átomos están separados por $1.0 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$, aproximadamente. (a) ¿Cuál es la carga neta en cada átomo? (b) ¿Es ésta igual a un múltiplo entero de $e$ ? Si no, explique. (c) ¿Cuál es la torca máxima que experimentaría este dipolo en un campo eléctrico de $2.5 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} ?$ (d) ¿Cuánta energía es necesaria para hacer girar la molécula $45^{\circ}$ a partir de su posición de equilibrio de menor energía potencial? Datos: Resolucion: $$ \begin{aligned} &p=q d \\ &q=\frac{p}{d}=\frac{3.4 \times 10^{-30}}{1.0 \times 10^{-10}} \\ &q=3.4 \times 10^{-20} \mathrm{C} \\ &q=n e \\ &n=\frac{3.4 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \\ &n=0.2125 \end{aligned} $$ No es un multiplo entero (Enlace covalonte) \[ \tau=p E \sin \phi \] Será máximo cuando $\phi=90^{\circ}$ $$ \begin{aligned} &a

Pregunta: Se coloca una carga positiva $q$ en el centro de un anillo circular de radio $R$. El anillo lleva una carga negativa distribuida de manera uniforme de magnitud total $-Q$. (a) Si la carga $q$ se desplaza del centro una pequeña distancia $x$, como se indica en la Figura , demuestre que describirá un movimiento armónico simple cuando se libere. (b) Si su masa es m, ¿cuál es su periodo? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E\cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ &\lambda=\frac{d Q}{d l} \Rightarrow d Q=\lambda d l \\ & d l=R d \varphi \\ & d Q=\lambda R d \varphi \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+R^2\right)^{1 / 2}} \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda R d \varphi}{\left(x^2+R^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+R^2\right)^{1 / 2}} \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda R x d \varphi}{\left(x^2+R^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} \] \[

Pregunta: Suponga que un electrón que viaja con rapidez $\vec{v}_{0}$. Entra a un campo eléctrico uniforme $E$ que es perpendicular a $\vec{v}_{0}$ como se indica en la Figura. (a) Describa su movimiento dando la ecuación de su trayectoria mientras se mueve dentro del campo eléctrico. Ignore la gravedad. (b) ¿A qué ángulo dejarán los electrones el campo eléctrico uniforme al final de las placas paralelas (punto P)? Suponga que las placas miden $4.9 \mathrm{~cm}$ de longitud y que $E=5.0 \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$. Ignore los efectos de borde del campo. Datos: Resolucion: Por la Segunda Ley de Newton tenemos $$ \begin{aligned} &F=m a \\ &a_y=\frac{F}{m}=\frac{q E}{m}=\frac{-e E}{m_e} \end{aligned} $$ La posición en " $y$ " será (MRUV) $$ y=\frac{1}{2} a_y t^2=\frac{1}{2}\left(-\frac{e E}{m_e}\right) t^2 $$ $$ y=-\frac{1}{2} \frac{c E}{m_e} t^2 $$ Lu posición en " $x$ " será (MRU) $$ x=v_0 t \Rightarrow t=\frac{

Pregunta: Un electrón tiene una velocidad inicial $\vec{v}_{0}=\left(9.80 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \hat{\jmath}$. Entra a una región donde $\vec{E}=$ $(2.0 \hat{\imath}+8.0 \hat{\jmath}) \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$. (a) Determine el vector de aceleración del electrón como función del tiempo. (b) ¿A qué ángulo $\theta$ se está moviendo (con respecto a su dirección inicial) en $t=1.0$ ns? Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &\vec{F}=m \vec{a} \Rightarrow \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{q \vec{E}}{m_e} \\ &\vec{a}=\frac{-1.6 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}(2.0 \hat{\imath}+8.0 \hat{\jmath}) \times 10^4 \\ &\vec{a}=-\left(3.5 \times 10^{15} \hat{\imath}+1.4 \times 10^{16} \hat{\jmath}\right) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{v_f}=\overrightarrow{v_0}+\vec{a} t \\ &\overrightarrow{v_f}=9.8 \times 10^4 \hat{\jmath}-\left(3.5 \times 10^{15} \hat{\imath}+1.4 \ti

Pregunta: Dos esferas pequeñas cada una de masa $m$ están suspendidas por medio de cuerdas ligeras de longitud $L$ (ver figura). Un campo eléctrico uniforme se aplica en la dirección $x$. Si las esferas tienen cargas iguales a $-q$ y $+q$, determine el campo eléctrico que permite a las esferas estar en equilibrio a un ángulo $\theta$. Datos: Resolucion: \begin{equation*} \begin{aligned} \Sigma F_x=0: \quad & -F-T \sin \theta+q E=0 \\ \Sigma F_y=0: \quad & T \cos \theta-p=0 \\ & T \sin \theta=q E-F \\ & T \cos \theta=p \end{aligned} \end{equation*} Dividiendo $$ \begin{aligned} \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} &=\frac{q E-F}{p} \\ \tan \theta &=\frac{q E-F}{p} \\ q E &= p \tan \theta+F \\ E &=\frac{p \tan \theta+F}{q} \\ E &=\frac{m g \tan \theta+F}{q} \\ & \quad F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{\left(2 l\sin \theta\right)^2} \\ E &=\frac{m g \tan \theta+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{(2 l \sin \t

Pregunta: Suponga que la carga $Q$ en el anillo de la Figura está toda distribuida uniformemente sólo en la mitad superior del anillo y que no hay carga en la mitad inferior. Determine el campo $\vec{E}$ en P. (Tome y verticalmente hacia arriba). Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &d E_x=d E \cos \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta\\ &\quad\lambda=\frac{d Q}{d l} \Rightarrow d Q=\lambda d l\\ &\quad d l=a d \varphi\\ &\quad \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a d \varphi}{\left(x^2+a^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^{1 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \int_0^\pi d \varphi\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda a x}{\left(x^2+a^2\right)^{3 / 2}} \pi\\ &\quad \lambda=\frac{Q}{\pi a}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{\pi a} \frac

Pregunta: Suponga que un alambre cargado de manera uniforme empieza en el punto 0 y se levanta verticalmente a lo largo del eje $y$ positivo hasta una longitud $l$. (a) Determine las componentes del campo eléctrico $E_{x}$ y $E_{y}$ en el punto $(x, 0)$. Esto es, calcule cerca de un extremo de un alambre largo en el plano perpendicular al alambre. (b) Si el alambre se extiende desde $y=0$ hasta $y=\infty$, de manera que $l=\infty$, demuestre que $\vec{E}$ forma un ángulo de $45^{\circ}$ con la horizontal para cualquier valor de $x$. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &d E_x=d E \cos \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta\\ &\quad \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda d y}{r^2} \cos \theta\\ &\quad\tan \theta=\frac{y}{x} \Rightarrow y=x \tan \theta\\ &\quad\frac{d y}{d \theta}=x\left(\tan ^2 \theta+1\right)\\ &\quad\frac{d y}{d \theta}=x \f

Pregunta: Una varilla delgada con la forma de un arco de circunferencia de radio $R$ lleva una carga uniforme por unidad de longitud $\lambda$. El arco subtiende un ángulo total $2 \theta_{0}$, simétrico en torno al eje $x$, como se muestra en la Figura. Determine el campo eléctrico $\vec{E}$ en el origen 0. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} &d E_x=d E \cos \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{R^2} \cos \theta\\ &\quad \lambda=\frac{d Q}{d l} \Rightarrow d Q=\lambda d \ell\\ &\quad d l=R d \theta\\ &\quad d Q=\lambda R d \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda R d \theta}{R^2} \cos \theta\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \cos \theta d \theta\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \int_{-\theta_0}^{\theta_0} \cos \theta d \theta \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{R}[\sin \theta]_{-\theta_0}^{\theta_0}\\

Pregunta: El alambre recto cargado de manera uniforme de la Figura 3 tiene una longitud $l$, donde el punto 0 está en su punto medio. Demuestre que el campo en el punto $\mathrm{P}$, a una distancia $x$ perpendicular desde 0 , está dado por $$ E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l}{\left(l^{2}+4 x^{2}\right)^{1 / 2}}, $$ donde $\lambda$ es la carga por unidad de longitud. Datos: Resolucion: \[ \begin{aligned} d E_x=& d E \cos \theta \\ d E_x=& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ & \lambda=\frac{d Q}{d y} \Rightarrow d Q=\lambda d y \\ & \cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &d E_x=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{x d y}{\left(x^2+y^2\right)} \frac{x}{\left(x^2+y^2\right)^{1 / 2}}\\ &d E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda x d y}{\left(x^2+y^2\right)^{3 / 2}}\\ &E_x=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \lambda x \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{1

Pregunta: (a) Dos cargas iguales están localizadas en los puntos $(x=l, y=0)$ y $(x=-l, y=0)$. Determine el campo eléctrico como una función de $y$ para puntos a lo largo del eje $y$. (b) Demuestre que el campo tiene un máximo en $y=\pm l / \sqrt{2}$. Datos: Resolucion: $$ \begin{aligned} &E=2 E_1 \sin \theta \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \sin \theta \\ &r=\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} \\ &\quad \sin \theta=\frac{y}{r}=\frac{y}{\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}} \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{y^2+l^2} \frac{y}{\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2}} \\ &E=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q y}{\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}} \end{aligned} $$ Para hallar el máximo $$ \begin{aligned} &\frac{d E}{d y}=0 \\ &\frac{d E}{d y}=A\left[\frac{1\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}-y \frac{3}{2}\left(y^2+l^2\right)^{1 / 2} 2 y}{\left(\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}\right)^2}\right] \\ &\left(y^2+l^2\right)^{3 / 2}-3 y^2\left(y^2+l^2\rig

Pregunta: Se le dan dos cargas puntuales desconocidas, $Q_{1}$ y $Q_{2}$. En un punto sobre la línea que las une, a un tercio del camino entre $Q_{1}$ y $Q_{2}$, el campo eléctrico es cero (ver Figura). ¿Cuál es el cociente $Q_{1} / Q_{2}$ ? Datos: Resolucion: Campo elétrico en $P$ debido a $Q_1$ $$ E_1=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{\left(\frac{l}{3}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} $$ Campo elétrico en $P$ debiclo a $Q_2$. $$ E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{\left(\frac{2}{3} l\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} $$ Debido a la condición del problema $$ E_1-E_2=0 \Longrightarrow E_1=E_2 $$ Entonces $$ \begin{aligned} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_1}{l^2} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{9 Q_2}{4 l^2} \\ Q_1 &=\frac{Q_2}{4} \\ \frac{Q_1}{Q_2} &=\frac{1}{4} \end{aligned} $$

Pregunta: Una línea muy delgada de carga yace a lo largo del eje $x$, desde $x=-\infty$ hasta $x=+\infty$. Otra línea de carga similar yace a lo largo del eje y desde $y=-\infty$ hasta $y=+\infty$. Ambas líneas tienen una carga uniforme por unidad de longitud $\lambda$. Determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico resultante (con respecto al eje $x$ ) en un punto $(x, y)$ del primer cuadrante del plano $x y$. Datos: Resolucion: Campo elećtrico debido a una diferencial de carga $$ \begin{aligned} &d E_y=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{d Q}{r^2} \cos \theta \\ &\quad \lambda=\frac{d Q}{d x} \Rightarrow d Q=\lambda d x \\ &d E_y=\frac{1}{4 \pi E_0} \frac{\lambda d x}{r^2} \cos \theta \\ &\quad \tan \theta=\frac{x}{y} \\ &\quad x=y \tan\theta \\ &\quad\frac{d x}{d \theta}=y\left(\tan ^2 \theta+1\right) \\ &\quad \frac{d x}{d\theta}=y\left(\frac{\sin^2 \theta+\cos ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}\right) \\ &\quad \frac{d x}{d \theta}=y \

Pregunta: Determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto $\mathrm{P}$ de la Figura. Las cargas están separadas por una distancia de $2 a$ y el punto $\mathrm{P}$ está a una distancia $x$ del punto medio entre las dos cargas. Exprese su resultado en términos de $Q, x, a$ y $k$. Datos: Resolucion: Campo eléctrico debido a $+Q$ $$ E_{+2}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{(a+x)^2} $$ Campo electrico debiclo a $-Q$ $$ E_{-Q}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{(x-a)^2} $$ Campo déćtrico en $P$ $$ \begin{aligned} &E_P=E_{+Q}-E_{-Q} \\ &E_p=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{(x+a)^2}-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{(x-a)^2}\\ &E_p= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}Q\left[\frac{1}{(x+a)^2}-\frac{1}{(x-a)^2}\right] \\ &E_p=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{(x-a)^2-(x+a)^2}{(x+a)^2(x-a)^2}\right] \\ &E_p=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q\left[\frac{x^2-2 x a+a^2-x^2-2 x a-a^2}{[(x+a)(x-a)]^2}\right] \\ &E_p=\frac{1}{4 \pi \

Pregunta: Calcule el campo eléctrico en la esquina de un cuadrado de $1.22 \mathrm{~m}$ de lado si las otras tres esquinas están ocupadas por cargas puntuales de $2.25 \times 10^{-6} \mathrm{C}$. Datos: \(l=1.22 \mathrm{~m}, \quad q=2.25 \times 10^{-6} \mathrm{C} \) Resolucion: $$ E_4=\sqrt{E_{4 x}^2+E_{4 y}^2} $$ Campo eléctrico en la componente " $x$ " $$ \begin{aligned} &E_{4 x}=E_1 \cos \theta+E_3 \\ &E_{4 x}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1}{2 l^2} \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_3}{l^2} \\ &E_{4 x}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{l^2}\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}+1\right) \\ &E_{4 x}=9 \times 10^9 \frac{\mathrm{Nm}^2}{\mathrm{C}^2} \frac{2.25 \times 10^{-6} \mathrm{C}}{1.22^2 \mathrm{~m}^2}\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}+1\right) \\ &E_{4 x}=18415.383 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}} \\ &E_{4 y}=18415.383 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}} \end{aligned} $$ Finalmente $$ \begin{aligned} &E_4=\sqrt{18415.383

Pregunta: (a) ¿Qué cantidad igual de carga positiva y negativa han de ponerse en la Tierra y en la Luna para neutralizar su atracción gravitacional? ¿Es necesario conocer la distancia de la Luna para resolver el problema? Explique su contestación afirmativa o negativa. (b) ¿Cuántas toneladas métricas de hidrógeno se requerirían para generar la carga positiva que se calculó en la parte (a)? La masa molar del hidrógeno es \(1.008 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}\). Datos: Resolucion: (a) La fuerza de atracción gravitacional entre la Luna y la Tierra es \begin{equation*} \begin{aligned} F_{\mathrm{G}}=\frac{G M_{\mathrm{E}} M_{\mathrm{M}}}{R^{2}} \end{aligned} \end{equation*} donde \(R\) es la distancia entre ellos. Si tanto la Tierra como la Luna reciben una carga \(q\), entonces la repulsión electrostática sería \begin{equation*} \begin{aligned} F_{\mathrm{E}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{R^{2}} \end{aligned} \end{equation*} Igualando estas dos expresiones entre sí, \b

Pregunta: Identifique el elemento \(X\) en las siguientes reacciones nucleares: \(\begin{array}{ll}(a) & { }^{1} \mathrm{H}+{ }^{9} \mathrm{Be} \rightarrow \mathrm{X}+n \\ (b) & { }^{12} \mathrm{C}+{ }^{1} \mathrm{H} \rightarrow \mathrm{X} \\ (c) & { }^{15} \mathrm{~N}+{ }^{1} \mathrm{H} \rightarrow{ }^{4} \mathrm{He}+\mathrm{X}\end{array}\) Datos: Resolucion: En cada caso conservamos la carga asegurándonos de que el número total de protones sea el mismo en ambos lados de la expresión. También necesitamos conservar el número de neutrones. (a) El hidrógeno tiene un protón, el berilio tiene cuatro, por lo que X debe tener cinco protones. Entonces \(\mathrm{X}\) debe ser Boro, B. (b) El carbono tiene seis protones, el hidrógeno tiene uno, entonces \(\mathrm{X}\) debe tener siete. Entonces \(\mathrm{X}\) es nitrógeno, \(\mathrm{N}\). (c) El nitrógeno tiene siete protones, el hidrógeno tiene uno, pero el helio tiene dos, por lo que X tiene \(7+1-2=6\) protones. Esto si

Pregunta: Dos cargas puntuales positivas e iguales \(q\) son sostenidas separadas una distancia fija \(2 a\). Se coloca una carga puntual de prueba en un plano normal a la línea que une las cargas y a la mitad entre ellas (ver figura). Determine el radio \(R\) del círculo en este plano en el cual la fuerza que opera sobre la partícula de prueba alcanza su valor máximo. Datos: Resolucion: Del gráfico: \(F=2 F_{31} \sin (\theta), \quad \sin (\theta)=\frac{R}{r}, \quad r=\sqrt{R^{2}+a^{2}}\) \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &F=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{o} q}{r^{2}} \frac{R}{r} \\ &F=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \frac{q_{o} q}{R^{2}+a^{2}} \frac{R}{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \\ &F=2 \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} q_{o} q \frac{R}{\left(R^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} Sea \(F=F(R)\), entonces: \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} &\frac{d F}{d R